4.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用(课件) -【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

单击此处添加文本具体内容 第四章　数列 4.3等比数列 4.3.1　等比数列的概念 第2课时　等比数列的性质及应用 [学习任务] 1.在理解等比数列定义和通项公式的基础上,探索并发现等比数列的性质.（重点） 2.理解等比数列的性质并能简单应用.（重点） 3.掌握等比数列的性质并能综合应用.（难点） 第2课时　等比数列的性质及应用 [对应学生用书第21页] 知识点　常用等比数列的性质 1.如果m＋n＝k＋l（m,n,k,l∈N*）,则有 　am·an＝ak·al　⁠. 2.如果m＋n＝2k（m,n,k∈N*）,则有am·an＝_____. 3.若m,n,p（m,n,p∈N*）成等差数列,则am,an,ap成等比数列. 4.在等比数列{an}中,每隔k项（k∈N*）取出一项,按原来的顺序排列,所得的新数列仍为等比数列. am·an＝ak·al 第2课时　等比数列的性质及应用 5.如果{an},{bn}均为等比数列,且公比分别为q1,q2,那么数列,{an·bn},,{｜an｜}仍是等比数列,且公比分别为,q1q2,,｜q1｜. 6.等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积,即a1an＝ 　a2an－1　⁠＝…＝ 　akan－k＋1　⁠. a2an－1 akan－k＋1 第2课时　等比数列的性质及应用 [对应学生用书第22页] 探究一　等比数列性质的应用 [例1]　已知{an}为等比数列. （1）若an＞0,a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25,求a3＋a5； [解]　（1）a2a4＋2a3a5＋a4a6＝＋2a3a5＋＝（a3＋a5）2＝25, ∵an＞0,∴a3＋a5＞0,∴a3＋a5＝5. 第2课时　等比数列的性质及应用 （2）若an＞0,a5a6＝9,求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值. [解]　（2）根据等比数列的性质,得 a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9, ∴a1a2…a9a10＝（a5a6）5＝95, ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 ＝log3（a1a2…a9a10） ＝log395＝10. 第2课时　等比数列的性质及应用 巧用等比数列的性质解题 （1）解答等比数列问题的基本方法——基本量法. ①基本思路：运用方程思想列出基本量a1与q的方程组,解出a1和q,然后利用通项公式求解； ②优缺点：适用面广,入手简单,思路清晰,但有时运算稍繁. 第2课时　等比数列的性质及应用 （2）利用等比数列的性质解题 ①基本思路：充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题； ②优缺点：简单快捷,但是适用面窄,有一定的思维含量. 第2课时　等比数列的性质及应用 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 探究二　等差、等比数列的综合应用 [例2]　数列{an}的前n项和记为Sn,a1＝1,an＋1＝2Sn＋1（n≥1）. （1）求{an}的通项公式； [解]　（1）由an＋1＝2Sn＋1,可得an＝2Sn－1＋1（n≥2）, 两式相减,得an＋1－an＝2an,即an＋1＝3an（n≥2）. 又∵a2＝2S1＋1＝3,∴a2＝3a1. 故{an}是首项为1,公比为3的等比数列, ∴an＝3n－1. 第2课时　等比数列的性质及应用 （2）等差数列{bn}的各项为正,其前n项和为Tn,且T3＝15,又a1＋b1,a2＋b2,a3＋b3成等比数列,求Tn. [解]　（2）设{bn}的公差为d, 由T3＝15,得b1＋b2＋b3＝15,可得b2＝5, 故可设b1＝5－d,b3＝5＋d. 又a1＝1,a2＝3,a3＝9, 由题意可得（5－d＋1）（5＋d＋9）＝（5＋3）2. 第2课时　等比数列的性质及应用 解得d1＝2,d2＝－10. ∵等比数列{bn}的各项为正, ∴d＞0,∴d＝2. Tn＝3n＋×2＝n2＋2n. 第2课时　等比数列的性质及应用 等差数列 等比数列 不同点 （1）强调每一项与前一项的差； （2）a1和d可以为零； （3）等差中项唯一 （1）强调每一项与前一项的比； （2）a1与q均不为零； （3）等比中项有两个值 第2课时　等比数列的性质及应用 等差数列 等比数列 相同点 （1）都强调每一项与前一项的关系； （2）公差与公比都必须是常数； （3）数列都可以由a1,d或a1,q确定 联系 （1）若{an}为正项等比数列,则{logaan}为等差数列； （2）{an}为等差数列,则{}为等比数列 第2课时　等比数列的性质及应用 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 　　数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系,建立数学模型是解决这类问题的核心,常用的方法有：（1）构造等差、等比数列的模型,然后用数列的通项公式或求和公式解；（2）通过归纳得到结论,再用数列知识求解. 第2课时　等比数列的性质及应用 3.某人买了一辆价值13.5万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度贬值. （1）用一个式子表示第n（n∈N*）年这辆车的价值； 解　（1）从第一年起,每年车的价值（万元）依次设为a1,a2,a3,…,an,由题意,得 a1＝13.5, a2＝13.5（1－10%）, a3＝13.5（1－10%）2, …… 第2课时　等比数列的性质及应用 由等比数列定义,知数列{an}是等比数列, 首项a1＝13.5,公比q＝（1－10%）＝0.9, ∴an＝a1qn－1＝13.5×0.9n－1. ∴第n年车的价值为an＝13.5×0.9n－1万元. 第2课时　等比数列的性质及应用 （2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车,他大概能得到多少钱？ 解　（2）当他用满4年时,车的价值为 a5＝13.5×0.95－1≈8.857. ∴用满4年卖掉时,他大概能得到8.857万元. 第2课时　等比数列的性质及应用 [对应学生用书第24页] 1.已知等比数列{an}中,a4＝7,a6＝21,则a8的值为 （　　） A.35 B.63 C.21 D.±21 解析　∵{an}成等比数列.∴a4,a6,a8成等比数列.∴＝a4a8,即a8＝＝63. 答案　B 第2课时　等比数列的性质及应用 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 解　方法一：设前三个数为,a,aq, 则·a·aq＝216, 所以a3＝216.所以a＝6. 因此前三个数为,6,6q. 由题意知第4个数为12q－6. 所以6＋6q＋12q－6＝12,解得q＝. 故所求的四个数为9,6,4,2. 4.有四个实数,前三个数成等比数列,且它们的乘积为216,后三个数成等差数列,且它们之和为12,求这四个数. 第2课时　等比数列的性质及应用 方法二：设后三个数为4－d,4,4＋d, 则第一个数为（4－d）2, 由题意知（4－d）2×（4－d）×4＝216,解得4－d＝6. 所以d＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2. 第2课时　等比数列的性质及应用 1．(1)等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a13＋a15＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．5 (2)(江苏南京金陵中学河西分校检测)已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，a7＋a9＝ eq \f(4π,3) 且b2b6b10＝8，则 eq \f(a3＋a8＋a13,b4b8－1) ＝(　　) A． eq \f(π,4) B． eq \f(π,3) C． eq \f(π,2) D． eq \f(2π,3) 解析　(1)方法一(性质法)：因为数列{an}是等比数列， 所以a1＋a3，a5＋a7，a9＋a11，a13＋a15成等比数列，且公比为 eq \f(a5＋a7,a1＋a3) ＝ eq \f(1,2) ，所以a13＋a15＝(a1＋a3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(3) ＝1. 方法二(通项公式法)：设等比数列{an}的公比为q，则a5＝a1q4，a7＝a3q4，所以q4＝ eq \f(a5＋a7,a1＋a3) ＝ eq \f(1,2) ，所以a13＋a15＝a1q12＋a3q12＝(a1＋a3)q12＝8× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(3) ＝1. (2)因为数列{an}是等差数列，所以a7＋a9＝2a8＝ eq \f(4π,3) ，所以a8＝ eq \f(2π,3) ，所以a3＋a8＋a13＝3a8＝2π.因为数列{bn}是等比数列，所以b2b6b10＝b eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)) ＝8，所以b6＝2，所以b4b8－1＝b eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)) －1＝4－1＝3，所以 eq \f(a3＋a8＋a13,b4b8－1) ＝ eq \f(2π,3) .故选D. 答案　(1)A　(2)D 2．(山东烟台期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－5，a3，a4－1，a5＋1成等比数列，数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＋2＝2bn(n∈N*). (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)记 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x)) 表示不超过x的最大整数，例如 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2.1)) ＝－3， eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1.2)) ＝1，设cn＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(an,10))) ，求数列{bncn}的前7项和． 解　(1)设等差数列{an}的公差为d， 因为a3，a4－1，a5＋1成等比数列， 所以(a4－1)2＝a3(a5＋1)， 即(3d－6)2＝(2d－5)(4d－4)， 整理可得d2－8d＋16＝0，所以d＝4， 故an＝a1＋(n－1)d＝－5＋4(n－1)＝4n－9. 由已知得Tn＝2bn－2　①， 当n≥2时，Tn－1＝2bn－1－2　②， ①－②可得bn＝2bn－2bn－1，即bn＝2bn－1(n≥2). 当n＝1时，b1＋2＝2b1，所以b1＝2， 所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列， 故bn＝2·2n－1＝2n. (2)由(1)知an＝4n－9，则cn＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4n－9,10))) ， 易得c1＝c2＝－1，c3＝c4＝0，c5＝c6＝c7＝1， 则数列{bncn}的前7项和为－1×(21＋22)＋0×(23＋24)＋1×(25＋26＋27)＝218. 探究三　等比数列的实际应用问题 [例3]　(福建莆田八中期中)“绿水青山就是金山银山．”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地1 万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为an万平方千米． (1)求an与an－1(n≥2)的关系； (2)判断 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an－\f(4,5))) 是不是等比数列，并说明理由； (3)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？(lg 2≈0.301) [解]　(1)由题意得an＝(1－4%)an－1＋(1－an－1)×16%＝0.96an－1＋0.16－0.16an－1＝0.8an－1＋0.16＝ eq \f(4,5) an－1＋ eq \f(4,25) ， ∴an＝ eq \f(4,5) an－1＋ eq \f(4,25) (n≥2). (2)数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an－\f(4,5))) 是等比数列．理由如下： 由(1)得an＝ eq \f(4,5) an－1＋ eq \f(4,25) (n≥2)， ∴an－ eq \f(4,5) ＝ eq \f(4,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1－\f(4,5))) (n≥2)， ∴ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an－\f(4,5))) 是等比数列． (3)由(2)可知an－ eq \f(4,5) ＝ eq \f(4,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1－\f(4,5))) (n≥2). 又a1＝ eq \f(3,10) ， ∴a1－ eq \f(4,5) ＝－ eq \f(1,2) ，∴an－ eq \f(4,5) ＝－ eq \f(1,2) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5))) eq \s\up12(n－1) ， 即an＝－ eq \f(1,2) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5))) eq \s\up12(n－1) ＋ eq \f(4,5) . 令an＝－ eq \f(1,2) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5))) eq \s\up12(n－1) ＋ eq \f(4,5) ＞ eq \f(3,5) ，得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5))) eq \s\up12(n－1) ＜ eq \f(2,5) ， 两边取常用对数，得(n－1)lg eq \f(4,5) ＜lg eq \f(2,5) ， ∴n－1＞ eq \f(lg \f(2,5),lg \f(4,5)) ＝ eq \f(lg 2－lg 5,2lg 2－lg 5) ＝ eq \f(lg 2－（1－lg 2）,2lg 2－（1－lg 2）) ＝ eq \f(2lg 2－1,3lg 2－1) ≈ eq \f(2×0.301－1,3×0.301－1) ＝ eq \f(－0.398,－0.097) ≈4.1， ∴n＞5.1， ∴至少经过6年，绿洲面积可超过60%. 2．(江苏省常熟中学高二调研)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝(　　) A．5 eq \r(2) B．7 C．6 D．4 eq \r(2) 解析　方法一：因为数列{an}是等比数列， 所以(a1a2a3)(a7a8a9)＝(a1a7)(a2a8)(a3a9)＝a eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)) a eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(5)) a eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)) ＝(a4a5a6)2.又a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，且数列{an}的各项均为正数，所以a4a5a6＝5 eq \r(2) . 方法二：因为数列{an}是等比数列，所以a1a2a3＝a eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(2)) ＝5，a7a8a9＝a eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)) ＝10，a4a5a6＝a eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)) .由等比数列的性质，得a eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(2)) ，a eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)) ，a eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)) 构成等比数列，所以(a eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)) )2＝a eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(2)) a eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(8)) .又数列{an}的各项均为正数，所以a eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(5)) ＝5 eq \r(2) ，即a4a5a6＝5 eq \r(2) . 方法三：因为数列{an}是等比数列，所以a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9构成等比数列，所以 eq \f(a4a5a6,a1a2a3) ＝ eq \f(a7a8a9,a4a5a6) ，即 eq \f(a4a5a6,5) ＝ eq \f(10,a4a5a6) ，即(a4a5a6)2＝50.又数列{an}的各项均为正数，所以a4a5a6＝5 eq \r(2) . 答案　A 3．标准对数视力表(如图)采用的“五分记录法”是中国独创的视力记录法，此表中各行均为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的 eq \r(10,10) 倍．若视力4.2的视标边长为a，则视力5.1的视标边长为(　　) 答案　A 解析　从上往下数，设第n行的视标边长为an，第n＋1行的视标边长为 an＋1.由题意可得an＝ eq \r(10,10) an＋1，所以 eq \f(an＋1,an) ＝ ，所以数列{an}是公比为 的等比数列．由题意知a3＝a，所以a12＝ ＝ ，即视力5.1的视标边长为 .故选A. $$