4.3.1 第1课时 等比数列的概念与通项公式(课件) -【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

单击此处添加文本具体内容 第四章　数列 4.3等比数列 4.3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念与通项公式 [学习任务] 1.理解等比数列的定义.（重点） 2.掌握等比数列的通项公式及其应用.（重点、难点） 3.熟练掌握等比数列的判定方法.（易错点） 第1课时　等比数列的概念与通项公式 [对应学生用书第18页] 知识点一　等比数列的定义 　　一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于 　同一个常数　⁠,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 　公比　⁠,公比通常用字母 　q　⁠表示（显然q≠0）. 同一个常数 公比 q 第1课时　等比数列的概念与通项公式 知识点二　　等比中项 　　如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成 　等比数列　⁠,那么G叫做a与b的等比中项.此时,G2＝ 　ab　⁠. 等比数列 ab 第1课时　等比数列的概念与通项公式 知识点三　等比数列的通项公式 　　设等比数列{an}的首项为a1,公比为q（q≠0）,则通项公式为an＝ 　a1qn－1　⁠. a1qn－1 第1课时　等比数列的概念与通项公式 [对应学生用书第19页] 探究一　等比数列的通项公式 [例1]　在等比数列{an}中： （1）已知a1＝3,q＝－2,求a6； [解]　（1）由等比数列的通项公式得 a6＝3×（－2）6－1＝－96. 第1课时　等比数列的概念与通项公式 （2）已知a3＝20,a6＝160,求an. [解]　（2）设等比数列的公比为q, 那么解得 所以an＝a1qn－1＝5×2n－1. 第1课时　等比数列的概念与通项公式 等比数列通项公式的求法 （1）根据已知条件,建立关于a1,q的方程组,求出a1,q后再求an,这是常规方法. （2）充分利用各项之间的关系,直接求出q后,再求a1,最后求an,这种方法带有一定的技巧性,能简化运算. 第1课时　等比数列的概念与通项公式 1.在等比数列{an}中： （1）a4＝2,a7＝8,求an； 解　（1）因为 由得q3＝4,从而q＝,而a1q3＝2, 于是a1＝＝,所以an＝a1qn－1＝. 第1课时　等比数列的概念与通项公式 （2）a2＋a5＝18,a3＋a6＝9,an＝1,求n. 解　（2）方法一：因为 由得q＝,从而a1＝32. 又因为an＝1,所以32×＝1, 即26－n＝20,所以n＝6. 第1课时　等比数列的概念与通项公式 方法二：因为a3＋a6＝q（a2＋a5）,所以q＝. 由a1q＋a1q4＝18,得a1＝32. 由an＝a1qn－1＝1,得n＝6. 第1课时　等比数列的概念与通项公式 探究二　等比中项 [例2]　（1）在等比数列{an}中,a1＝,q＝2,则a4与a8的等比中项a6＝（　　） A.±4 B.4 C.± D. （2）已知b是a,c的等比中项,求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项. [解析]　（1）由an＝×2n－1＝2n－4知,a4＝1,a8＝24,所以a4与a8的等比中项为±4,又a1＞0,q＞0,∴a6＞0,故a4与a8的等比中项为a6＝4. [答案]　B 第1课时　等比数列的概念与通项公式 （2）证明：因为b是a,c的等比中项, 所以b2＝ac,且a,b,c均不为零, 又因为（a2＋b2）（b2＋c2）＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2 ＝a2b2＋2a2c2＋b2c2,（ab＋bc）2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2 ＝a2b2＋2a2c2＋b2c2, 所以（ab＋bc）2＝（a2＋b2）（b2＋c2）, 即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项. 第1课时　等比数列的概念与通项公式 　　（1）首项a1和公比q是构成等比数列的基本量,从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法. （2）解题时应注意同号的两个数的等比中项有两个,它们互为相反数,而异号的两个数没有等比中项. 第1课时　等比数列的概念与通项公式 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 探究三　等比数列的判定与证明 [例3]　已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a,试判断{an}是否是等比数列. [解]　an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1（n≥2）. 当n≥2时,＝＝2； 当n＝1时,＝＝. 故当a＝－1时,数列{an}成等比数列,其首项为1,公比为2；当a≠－1时,数列{an}不是等比数列. 第1课时　等比数列的概念与通项公式 判断一个数列{an}是等比数列的方法 （1）定义法：若数列{an}满足＝q（q为常数且不为零）或＝q（n≥2,q为常数且不为零）,则数列{an}是等比数列. （2）等比中项法：对于数列{an},若＝anan＋2且an≠0,则数列{an}是等比数列. （3）通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1（a1≠0,q≠0）,则数列{an}是等比数列. 第1课时　等比数列的概念与通项公式 1.（变条件）将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”,求证数列{an}是等比数列. 证明　∵Sn＝2－an, ∴Sn＋1＝2－an＋1, ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝（2－an＋1）－（2－an）＝an－an＋1, ∴an＋1＝an. 第1课时　等比数列的概念与通项公式 又∵S1＝2－a1, ∴a1＝1≠0. 又由an＋1＝an知an≠0, ∴＝,∴{an}是等比数列. 第1课时　等比数列的概念与通项公式 2.（变条件）将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝1,an＋1＝2an＋1”,证明数列{an＋1}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式. 证明　因为an＋1＝2an＋1, 所以an＋1＋1＝2（an＋1）. 由a1＝1,知a1＋1≠0, 从而an＋1≠0. 所以＝2（n∈N*）. 所以{an＋1}是以a1＋1＝2为首项,2为公比的等比数列. 所以an＋1＝2×2n－1＝2n,即an＝2n－1. 第1课时　等比数列的概念与通项公式 在等比数列的判定中忽略等比数列的项不为0致错 [典例] 在数列{an}中,a1＝1,a2＝3,an＋1－an＋an－1＝0（n≥2且n∈N*）.若数列{an＋1＋λan}是等比数列,则实数λ＝ 　　　　⁠. [错解] 设an＋1＋λan＝μ（an＋λan－1）（n≥2且n∈N*）, 所以an＋1＋（λ－μ）an－μλan－1＝0. ⁠ 第1课时　等比数列的概念与通项公式 所以解得λ＝－3或λ＝－. [错解分析]　上述解法看似没有问题,但实际上,当λ＝－3时,a2－3a1＝0,不能构成等比数列,错解的原因在于误认为只要an＝qan－1（n≥2）,数列{an}就是等比数列,而忽略了等比数列中的项都不能为0. [正解]　设an＋1＋λan＝μ（an＋λan－1）（n≥2且n∈N*）, 第1课时　等比数列的概念与通项公式 所以an＋1＋（λ－μ）an－μλan－1＝0. 所以解得λ＝－3或λ＝－. 当λ＝－3时,a2－3a1＝0,{an＋1－3an}不是等比数列,故舍去,所以λ＝－. [答案]　－ 第1课时　等比数列的概念与通项公式 　　在等比数列中,项和公比均不能为0.特别是在求参数或等比数列的判定中,这是一个易忽视的地方.故在求解参数时,应在求得参数后对结果进行验证. 第1课时　等比数列的概念与通项公式 [对应学生用书第21页] 第1课时　等比数列的概念与通项公式 第四章 数列 2.设a1,a2,a3,a4成等比数列,其公比为2,则的值为（　　） A. B. C. D.1 解析　原式＝＝＝. 答案　A 第1课时　等比数列的概念与通项公式 3.已知等比数列{an}的前三项依次为a－1,a＋1,a＋4,则an＝ 　　　　⁠.  解析　由已知可得（a＋1）2＝（a－1）（a＋4）,解得a＝5,所以a1＝4,a2＝6,所以q＝＝＝,所以an＝4×. 答案　4× ⁠ 第1课时　等比数列的概念与通项公式 第四章 数列 第四章 数列 2．(1)(陕西汉中高二期末)在等比数列{an}中，a1＝ eq \f(1,4) ，q＝2，则a2与a4的等比中项是(　　) A．－1 B．1 C．2 D．±1 (2)(山东青岛高二期末)有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数的和为(　　) A．28 B．26 C．24 D．20 解析　(1)因为a2a4＝(a1q)(a1q3)＝ eq \f(1,2) ×2＝1，所以a2与a4的等比中项是±1.故选D. (2)依题意，设这四个数依次为x，y，12－y，16－x， 则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋（12－y）＝2y，,y（16－x）＝（12－y）2，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝4)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝15，,y＝9，)) 所以这四个数依次为0，4，8，16或15，9，3，1，则这四个数的和为28.故选A. 答案　(1)D　(2)A 1．有下列4种说法：①等比数列中的某一项可以为0；②等比数列的公比的取值范围是R；③若一个非零的常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1；④ 22，42，62，82，…成等比数列．其中正确说法的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　由等比数列的定义可知，等比数列是根据比值来定义的，故等比数列的每一项和公比都不能为零，故①②错误；一个非零的常数列，一定是等比数列，其公比为1，故③正确；由于 eq \f(42,22) ≠ eq \f(62,42) ，故不成等比数列，故④错误．故选B. 答案　B 4．已知数列{an}满足a1＝2，nan＋1＝3(n＋1)an，bn＝ eq \f(an,n) (n∈N*). (1)求b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由． 解　(1)由题可得an＋1＝ eq \f(3（n＋1）,n) an，将n＝1代入，得a2＝6a1.又a1＝2，∴a2＝12，将n＝2代入，得a3＝ eq \f(9,2) a2， ∴a3＝54，∴b1＝ eq \f(a1,1) ＝2，b2＝ eq \f(a2,2) ＝6，b3＝ eq \f(a3,3) ＝18. (2){bn}是首项为2，公比为3的等比数列．理由如下：由已知可得 eq \f(an＋1,n＋1) ＝3× eq \f(an,n) ，即bn＋1＝3bn.又∵b1＝2，∴{bn}是首项为2，公比为3的等比数列． $$