4.2.1 第2课时 等差数列的性质(课件) -【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

单击此处添加文本具体内容 第四章　数列 4.2等差数列 4.2.1　等差数列的概念 第2课时　等差数列的性质 [学习任务] 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.（重点） 2.能运用等差数列的性质解决有关问题.（难点） 第2课时　等差数列的性质 [对应学生用书第11页] 知识点　等差数列的性质 1.等差数列通项公式的推广 通项公式 通项公式的推广 an＝a1＋（n－1）d （揭示首末两项的关系） an＝am＋（n－m）d （揭示任意两项之间的关系） 第2课时　等差数列的性质 2.等差数列的性质 　　若数列{an}是公差为d的等差数列,正整数m,n,p,q满足m＋n＝p＋q,则am＋an＝ 　ap＋aq　⁠. （1）特别地,当m＋n＝2k（m,n,k∈N*）时,am＋an＝ 　2ak　⁠. （2）对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和,即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. ap ＋aq 2ak 第2课时　等差数列的性质 ③数列{an＋an＋k}（k为常数,k∈N*）是公差为 　2d　⁠的等差数列. （4）若{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列,则数列{pan＋qbn}（p,q是常数）是公差为 　 pd1＋qd2　⁠的等差数列.  2d pd1＋qd2 （3）若数列{an}是公差为d的等差数列,则 ①数列{c＋an}（c为任一常数）是公差为 　d　⁠的等差数列； ②数列{can}（c为任一常数）是公差为 　cd　⁠的等差数列； d cd 第2课时　等差数列的性质 [对应学生用书第11页] 探究一　等差数列的性质应用 [例1]　（链接教材第17页例5）（1）已知等差数列{an}中,a2＋a4＝6,则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝ （　　） A.30 B.15 C.5 D.10 第2课时　等差数列的性质 （2）设数列{an},{bn}都是等差数列,且a1＝25,b1＝75,a2＋b2＝100,则a37＋b37＝（　　） A.0 B.37 C.100 D.－37 [解析]　（1）∵数列{an}为等差数列, ∴a2＋a4＝2a3＝6,∴a3＝3. ∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝5a3＝15. 第2课时　等差数列的性质 （2）设cn＝an＋bn,由于{an},{bn}都是等差数列, 则{cn}也是等差数列,且c1＝a1＋b1＝25＋75＝100, c2＝a2＋b2＝100, ∴{cn}的公差d＝c2－c1＝0. ∴c37＝100,即a37＋b37＝100. [答案]　（1）B　 （2）C 第2课时　等差数列的性质 　　本例（1）求解主要用到了等差数列的性质：若数列m＋n＝p＋q,则am＋an＝ap＋aq. 对于此性质,应注意：必须是两项相加等于两项相加,否则不一定成立.例如,a15≠a7＋a8,但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22,但a1＋a21＝2a11. 本例（2）应用了等差数列的性质：若数列{an},{bn}是等差数列,则{an＋bn}也是等差数列.灵活运用等差数列的某些性质,可以提高我们分析、解决数列综合问题的能力,应注意加强这方面的训练. 第2课时　等差数列的性质 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 探究二　灵活设元求解等差数列 [例2]　（1）三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数. [解]　（1）设这三个数依次为a－d,a,a＋d, 则解得 ∴这三个数为4,3,2. 第2课时　等差数列的性质 [解]　（2）方法一：设这四个数为a－3d,a－d,a＋d,a＋3d（公差为2d）, 依题意,2a＝2,且（a－3d）（a＋3d）＝－8, 即a＝1,a2－9d2＝－8, ∴d2＝1,∴d＝1或d＝－1. 又四个数成递增等差数列,所以d＞0, ∴d＝1,故所求的四个数为－2,0,2,4. （2）四个数成递增等差数列,中间两项的和为2,首末两项的积为－8,求这四个数. 第2课时　等差数列的性质 方法二：若设这四个数为a,a＋d,a＋2d,a＋3d（公差为d）, 依题意,2a＋3d＝2,且a（a＋3d）＝－8, 把a＝1－d代入a（a＋3d）＝－8, 得＝－8,即1－d2＝－8, 化简得d2＝4,所以d＝2或－2. 又四个数成递增等差数列, 所以d＞0,所以d＝2,a＝－2. 故所求的四个数为－2,0,2,4. 第2课时　等差数列的性质 常见设元技巧 （1）某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和,可设这两个数为a－d,a＋d,公差为2d； （2）三个数成等差数列且知其和,常设此三数为a－d,a,a＋d,公差为d； （3）四个数成等差数列且知其和,常设成a－3d,a－d,a＋d,a＋3d,公差为2d. 第2课时　等差数列的性质 2.已知四个数依次成等差数列且是递增数列,四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求此等差数列. 解　设四个数为a－3d,a－d,a＋d,a＋3d,则 又因为是递增数列,所以d＞0, 所以解得a＝±,d＝, 此等差数列为－1,2,5,8或－8,－5,－2,1. 第2课时　等差数列的性质 探究三　等差数列的实际应用 第2课时　等差数列的性质 请你根据提供的信息回答问题. （1）第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数； [例3]　甲、乙两人连续6年对某县养鸡业规模进行调查,提供两个不同的信息图如图.甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个. 甲 乙 第2课时　等差数列的性质 [解]　由题图可知,从第1年到第6年平均每个养鸡场出产的鸡数成等差数列,记为{an},公差为d1,且a1＝1,a6＝2；从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列,记为{bn},公差为d2,且b1＝30,b6＝10；从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{cn},则cn＝anbn. （1）由a1＝1,a6＝2,得 ∴得a2＝1.2. 第2课时　等差数列的性质 由b1＝30,b6＝10,得 ∴得b2＝26. ∴c2＝a2b2＝1.2×26＝31.2, 即第2年养鸡场有26个,全县出产鸡31.2万只. 第2课时　等差数列的性质 （2）到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由. （2）∵c6＝a6b6＝2×10＝20＜c1＝a1b1＝30, ∴到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了. 第2课时　等差数列的性质 解答数列实际应用问题的基本步骤 点击图片放大 第2课时　等差数列的性质 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 第四章 数列 [对应学生用书第13页] 2.在等差数列{an}中,已知a3＝10,a8＝－20,则公差d等于 （　　） A.3 B.－6 C.4 D.－3 解析　由等差数列的性质得a8－a3＝（8－3）d＝5d,所以d＝＝－6. 答案　B 第2课时　等差数列的性质 第四章 数列 4.已知成等差数列的四个数,四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这个等差数列. 解　设这四个数依次为a－3d,a－d,a＋d,a＋3d（公差为2d）. 由题设知 解得或 ∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2. 第2课时　等差数列的性质 1．(1)(山西大学附属中学高二期中)在等差数列{an}中，a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝450，则a3＋a11的值为(　　) A．45 B．75 C．180 D．300 (2)(重庆七中高二期末)已知{an}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝15，a2＋a5＋a8＝24，则a3＋a6＋a9的值为(　　) A．24 B．27 C．30 D．33 解析　(1)由a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝(a5＋a9)＋(a6＋a8)＋a7＝5a7＝450，得a7＝90，则a3＋a11＝2a7＝180.故选C. (2)因为{an}是等差数列，设公差为d，则a2＋a5＋a8－(a1＋a4＋a7)＝3d，a3＋a6＋a9－(a2＋a5＋a8)＝3d，所以a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9也成等差数列，所以a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝2×24－15＝33.故选D. 答案　(1)C　(2)D 3．(多选)《周髀算经》是中国古代的天文学和数学著作．其中有一句关于二十四节气的记载，大意为：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则(　　) A．小寒比大寒的晷长长一尺 B．春分和秋分两个节气的晷长相同 C．小雪的晷长为一丈五寸 D．立春的晷长比立秋的晷长长 解析　由题意可知，夏至到冬至的晷长(单位：寸)构成等差数列{an}，其中a1＝15，a13＝135，公差为d1，则135＝15＋12d1，解得d1＝10.同理可知，由冬至到夏至的晷长(单位：寸)构成等差数列{bn}，b1＝135，b13＝15，公差d2＝－10.又小寒与大寒相邻，所以小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，A正确；因为春分的晷长为b7＝b1＋6d2＝135－60＝75，秋分的晷长为a7＝a1＋6d1＝15＋60＝75，所以春分和秋分两个节气的晷长相同，B正确；因为小雪的晷长为a11＝a1＋10d1＝15＋100＝115，115 寸即一丈一尺五寸，所以小雪的晷长为一丈一尺五寸，C错误；因为立春的晷长和立秋的晷长分别为b4，a4，a4＝a1＋3d1＝15＋30＝45，b4＝b1＋3d2＝135－30＝105，b4＞a4，所以立春的晷长比立秋的晷长长，D正确． 答案　ABD 答案　A 1．已知数列{an}为等差数列，且a1＋a5＋a9＝π，则cos (a2＋a8)＝(　　) A．－ eq \f(1,2) B．－ eq \f(\r(2),2) C． eq \f(1,2) D． eq \f(\r(3),2) 解析　由等差数列的性质知a2＋a8＝a1＋a9＝2a5，所以3a5＝π，得a5＝ eq \f(π,3) ，所以cos (a2＋a8)＝cos 2a5＝cos eq \f(2π,3) ＝－ eq \f(1,2) . 3．(河北邯郸期末)已知等差数列{an}为递增数列，若a eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＋a eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(10)) ＝101，a5＋a6＝11，则数列{an}的公差d为________. 解析　由a eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＋a eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(10)) ＝101，得(a1＋a10)2－2a1a10＝(a5＋a6)2－2a1a10＝121－2a1a10＝101，所以a1a10＝10.又a1＋a10＝a5＋a6＝11，a1＜a10，所以a1＝1，a10＝10，所以d＝ eq \f(a10－a1,10－1) ＝1. 答案　1 $$