4.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式(课件) -【勤径学升·同步练测】2024-2025学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

单击此处添加文本具体内容 第四章　数列 4.2等差数列 4.2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念及通项公式 [学习任务] 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的判定方法.（重点） 3.掌握等差数列的通项公式及等差中项的概念,并能简单应用.（难点） 4.掌握等差数列的判定方法.（重点） 第1课时　等差数列的概念及通项公式 [对应学生用书第8页] 知识点一　等差数列的定义 　　一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于 　同一个　⁠常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的 　公差　⁠,公差通常用字母 　d　⁠表示. 同一个 公差 d 第1课时　等差数列的概念及通项公式 知识点二　　等差中项 　　由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道, 　2A　⁠＝a＋b. 2A 第1课时　等差数列的概念及通项公式 知识点三　等差数列的通项公式 　　已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d. 递推公式 通项公式 an＋1－an＝d（n∈N*） an＝ 　a1＋（n－1）d　⁠（n∈N*） a1＋（n－1）d 第1课时　等差数列的概念及通项公式 [对应学生用书第8页] 探究一　等差数列的通项公式及相关计算 [例1]　在等差数列{an}中, （1）已知a1＝2,d＝3,n＝10,求an； [解]　（1）an＝a10＝a1＋（10－1）d＝2＋9×3＝29. 第1课时　等差数列的概念及通项公式 （2）已知a1＝3,an＝21,d＝2,求n； [解]　（2）由an＝a1＋（n－1）d得3＋2（n－1）＝21,解得n＝10. （3）已知a1＝12,a6＝27,求d； [解]　（3）由a6＝a1＋5d得12＋5d＝27,解得d＝3. 第1课时　等差数列的概念及通项公式 （4）已知d＝－,a7＝8,求a1和an. [解]　（4）由a7＝a1＋6d得a1－2＝8,解得a1＝10,所以an＝a1＋（n－1）d＝10－（n－1）＝－n＋. 第1课时　等差数列的概念及通项公式 等差数列通项公式中的四个参数及其关系 等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d 四个参数 a1,d,n,an “知三求一” 知a1,d,n求an 知a1,d,an求n 知a1,n,an求d 知d,n,an求a1 第1课时　等差数列的概念及通项公式 1.在等差数列{an}中, （1）已知a5＝－1,a8＝2,求a1与d； 解　（1）∵a5＝－1,a8＝2, ∴解得 第1课时　等差数列的概念及通项公式 （2）已知a1＋a6＝12,a4＝7,求a9. 解　（2）设数列{an}的公差为d. 由已知得解得 ∴an＝1＋（n－1）×2＝2n－1, ∴a9＝2×9－1＝17. 第1课时　等差数列的概念及通项公式 探究二　等差中项的应用 [例2]　已知等差数列{an},满足a2＋a3＋a4＝18,a2a3a4＝66.求数列{an}的通项公式. [解]　∵a2＋a3＋a4＝18,∴3a3＝18,a3＝6. ∴解得或 第1课时　等差数列的概念及通项公式 当时,a1＝16,d＝－5, ∴an＝a1＋（n－1）d＝16＋（n－1）（－5）＝－5n＋21. 当时,a1＝－4,d＝5, ∴an＝a1＋（n－1）d＝－4＋5（n－1）＝5n－9. 第1课时　等差数列的概念及通项公式 　　三数a,b,c成等差数列的条件是b＝（或2b＝a＋c）,可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题.如若证{an}为等差数列,可证2an＋1＝an＋an＋2（n∈N*）. 第1课时　等差数列的概念及通项公式 第四章 数列 第四章 数列 探究三　等差数列的判定或证明 1.不含参数的等差数列的判定或证明 [例3]　已知数列{an}满足a1＝4,an＝4－（n＞1）,记bn＝.求证：数列{bn}是等差数列. 第1课时　等差数列的概念及通项公式 [证明]　方法一（定义法）： ∵bn＋1－bn＝－ ＝－＝＝, 又b1＝＝, ∴数列{bn}是首项为,公差为的等差数列. 第1课时　等差数列的概念及通项公式 方法二（等差中项法）： ∵bn＝, ∴bn＋1＝＝＝, ∴bn＋2＝＝＝, ∴bn＋bn＋2－2bn＋1＝＋－2×＝0, ∴bn＋bn＋2＝2bn＋1（n∈N*）, ∴数列{bn}是等差数列. 第1课时　等差数列的概念及通项公式 等差数列的判定方法 （1）定义法：an＋1－an＝d（常数）（n∈N*）⇔{an}为等差数列. （2）中项法：2an＋1＝an＋an＋2（n∈N*）⇔{an}为等差数列. （3）通项法：an＝pn＋q（p,q为常数,n∈N*）⇔{an}为等差数列. 若要证明一个数列是等差数列,则必须用定义法或中项法. 第1课时　等差数列的概念及通项公式 [例4]　数列{an}满足a1＝2,an＋1＝（λ－3）an＋2n（n∈N*）. （1）当a2＝－1时,求λ及a3； [解]　（1）∵a1＝2,a2＝－1,a2＝（λ－3）a1＋2, ∴λ＝,∴a3＝－a2＋22＝. （2）是否存在λ的值,使数列{an}为等差数列？若存在,求其通项公式；若不存在,请说明理由. 2.含参数的等差数列的判定或证明 第1课时　等差数列的概念及通项公式 [解]　（2）不存在.理由如下： ∵a1＝2,an＋1＝（λ－3）an＋2n, ∴a2＝（λ－3）a1＋2＝2λ－4, a3＝（λ－3）a2＋22＝2λ2－10λ＋16. 若数列{an}为等差数列,则a1＋a3＝2a2, 即2＋2λ2－10λ＋16＝2（2λ－4）,即λ2－7λ＋13＝0. ∵Δ＝49－4×13＜0,∴方程无实数解. ∴λ的值不存在. ∴不存在λ的值使数列{an}为等差数列. 第1课时　等差数列的概念及通项公式 含参数的等差数列的判定或证明方法 方法一：判定或证明递推关系式或通项公式中含参数的等差数列问题,可先假设参数存在,利用数列的特殊项（一般选择下标数较小的项,如a1,a2,a3等）成等差数列,构造关于参数的方程.若关于参数的方程无解,则不存在参数使数列成等差数列；若参数的值存在,则将参数值求出后再代入递推关系式中证明. 方法二：根据定义法、等差中项或通项公式法转化为关于n的等式的恒成立问题.通过对应系数相等建立方程,若方程有解,则存在参数使数列成等差数列；若方程无解,则不存在参数使数列成等差数列. 第1课时　等差数列的概念及通项公式 3.已知数列{an}满足an＋1＝,且a1＝3（n∈N*）. （1）证明：数列是等差数列； 第1课时　等差数列的概念及通项公式 解　（1）证明：由＝ ＝ ＝＝＝＋, 得－＝,n∈N*,又＝1, 故数列以1为首项,以为公差的等差数列. 第1课时　等差数列的概念及通项公式 （2）求数列{an}的通项公式. 解　（2）由（1）知＝＋（n－1）×＝, 所以an＝,n∈N*. 第1课时　等差数列的概念及通项公式 对隐含条件挖掘不透致错 [典例]　一个等差数列的首项为,从第10项起各项都比1大,则这个等差数列的公差d的取值范围是（　　） A. B. C. D. 第1课时　等差数列的概念及通项公式 [错解一]由a10＞1,得＋9d＞1,解得d＞,故选A. [错解二] 由题意可得即解得＜d＜,故选C. 第1课时　等差数列的概念及通项公式 [错解分析]　在求解本题时,必须深刻理解“从第10项起各项都比1大”的含义,它不仅表明了a10＞1,而且隐含了a9≤1这一条件,若不从题目中挖掘出隐含条件,易产生上述两种错误. [正解] 由题意可得即解得＜d≤,故选D. [答案] D 第1课时　等差数列的概念及通项公式 　　在解题时,必须深刻理解题意,挖掘出其中的隐含条件,避免错解、漏解. 第1课时　等差数列的概念及通项公式 第四章 数列 [对应学生用书第10页] 第四章 数列 2.已知实数m是1和5的等差中项,则m＝ （　　） A. B.± C.3 D.±3 答案　C 第1课时　等差数列的概念及通项公式 第四章 数列 4.已知等差数列{an}中,a15＝33,a61＝217,试判断153是不是这个数列的项？如果是,是第几项？ 解　设首项为a1,公差为d,则an＝a1＋（n－1）d, 由已知解得 所以an＝－23＋（n－1）×4＝4n－27, 令an＝153,即4n－27＝153,解得n＝45∈N*,所以153是所给数列的第45项. 第1课时　等差数列的概念及通项公式 2．(1)已知等差数列{an}的前3项分别为a－1，2a＋1，a＋7，则a的值为(　　) A．0 B．2 C．4 D．9 (2)已知△ABC中三边a，b，c成等差数列， eq \r(a) ， eq \r(b) ， eq \r(c) 也成等差数列，则△ABC的形状为________. 解析　(1)由题得2(2a＋1)＝(a－1)＋(a＋7)，解得a＝2. (2)因为a，b，c成等差数列， eq \r(a) ， eq \r(b) ， eq \r(c) 也成等差数列，所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,2\r(b)＝\r(a)＋\r(c)，)) 则2(a＋c)＝( eq \r(a) ＋ eq \r(c) )2，即a＋c＝2 eq \r(ac) ，所以( eq \r(a) － eq \r(c) )2＝0，故a＝c＝b，所以△ABC为等边三角形． 答案　(1)B　(2)等边三角形 1．(江西余干高二月考)若数列{an}满足3an＋1＝3an＋1，则数列{an}(　　) A．是公差为1的等差数列 B．是公差为 eq \f(1,3) 的等差数列 C．是公差为－ eq \f(1,3) 的等差数列 D．不是等差数列 解析　由3an＋1＝3an＋1，得3an＋1－3an＝1，即an＋1－an＝ eq \f(1,3) ，所以数列{an}是公差为 eq \f(1,3) 的等差数列． 答案　B 3．已知等差数列{an}中各项都不相等，a1＝2，且a4＋a8＝a eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)) ，则公差d＝(　　) A．1 B． eq \f(1,2) C．2 D．2或 eq \f(1,2) 解析　因为a4＋a8＝a eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(3)) ，所以a1＋3d＋a1＋7d＝(a1＋2d)2.又a1＝2，所以d＝ eq \f(1,2) 或d＝0(舍去). 答案　B $$