专项训练九 特殊三角形、平行四边形中的最值问题-【勤径千里马】2023-2024学年八年级下册数学走向假期（人教版，辽宁专版）

专项训练九 特殊三角形,平行四边形中的最值问题 角度2 形如.的最小值词题(胡不归模型) 类型一 两定点+一动点→多条线段和的最小值 7.如图,英形ABCD的边长为4.乙A=120”.P为对角线AC上一点.则AP+P的最小 角度1 对称模型 1.如图,在AABC中.AB-AC-fC-2.AD.CF是AABC的两条中线.P是中线AD土的一个动 () 点.则BP+P的是小值为 ###7### A.2 B. t.! D.5 #### 了{ 1 8.(山 1如图.在菱形A6法中.A招-AC-10.对角线AC.0相交于点0.点等在 1 2 线段AC上,且AM=3.P为线段aD上的-个动点,则P+P8的最小值是 2.如图,在正方形ABCD中,A=4.F是A的中点.P是20上的-个动点.则PA+P的最小 ·类型二 一定点+两动点一两条线段和的最小值 值是 / ) 9.如图,在等边三角形AtC中,D平分云A8C交AC于点D.E.F分别是线段双D.故C上的动 1.2 ..4 6.42 D.25 点、围(+F的晶小为 ) 3.如图.在RtAABC中2C=90AC:PC=3.PAC的动点.过点P作PD1A干 A.P BCr C.短 DAC 点D.期PP小值 。2 ) .15 B. 10.如图,正方形A8CD的过长是.DAC的平分线交战C于点E若P.0分则是ADA上的 , 两个动点,0。P0的最小是 4.如图,已知萎形Ar的用长为16.请积为③。为A8跑点.为对角线8D上一动 11.如图,在短形ABC7中.iC40.AD=30 V分期为线段D.AB上的两个动点,则 点.刚P+AP韵小值为 A3f4MV的最^植为 5.(1)如图.P为矩形A2CD的对角线AC上一动点.为TC的中点.连接PE.PB ###### 号AB-4.fC-4.则P+PB的最小植为 6.如图.在AABC中AG=$C=2.乙ACB=90v是BC边的中点.是A边上一动点,试求 EC D最小值. 11 17r 口 12.如,在鉴形ABC0中. D=33A0=3.CF=2.PF分是线段ACA上的动点,则 p的最小值% ,题 13.如图.已知正方形AC沙的边长为2..分题是边BC,C上的两个动点,且足题。 C连接AAF则AS+A的最小值为 1.入年题下雨 一-∴∠FBN=90°,即∠FBA+∠ABN=90°. 又∵∠FBA+∠CBF=90°,∴∠CBF=∠ABN. 在△BCF和△BAN中， BF=BN, ∠CBF=∠ABN, [BC=BA, ∴ ∠BAE=∠CAE CD=AD',∠D'AE=∠DCE. 易知∠BCD=120°,∠ACB=60°, ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ACF=60°=∠B, ∴∠B=∠D,AB=CD,∠BCD=∠BAD, ∴∠B=∠D',AB=AD',∠D'AE=∠BAD, 即∠1+∠2=∠2+∠3, ∴△ABE≌△ACF,∴AE=AF. 又∵∠EAF=60°, ∴△AEF是等边三角形. ∴∠1=∠3. ∴△ABE≌△AD'F.∴△BCF=△BAN(SAS),∴CF=AN. ∴ME=2N=2cR. 3.解：(1)∵四边形ABCD是矩形，AD//BC, ∴∠OAE=∠OCF,∠AEO=∠CFO. ∵EF垂直平分AC,垂足为点0,∴OA=OC, ∴△AOE≌△COF,∴OE=OF, ∴四边形 AFCE为平行四边形. 又∵EF⊥AC,∴四边形AFCE为菱形，∴AF=CF. 设AF=CF=xcm,则BF=(8-x)cm. 在Rt△ABF中，AB=4cm,由勾股定理，得42+(8-x)2= (2)解：四边形AECF是菱形.理由如下： 由折叠的性质，得AE=EC,∠4=∠5,AF=FC. 5.证明：如答图，取AB的中点H,连接MH,NH, ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC, ∴∠6=∠5=∠4,∴FC=AF=AE=EC, ∴四边形AECF是菱形.则MM=÷BF,NH=÷AE. ∵CE=CF,CA=CB,∴AE=BF, ∴MH=NH. 2.解：如答图，连接 BD,AC,则O为AC与BD的交点. ∵四边形ABCD是菱形， x2,解得x=5.∴AF=5 cm. ∴AC⊥BD,AC平分 BD,AC平分∠BAD.∵点M,H,N分别为AF,AB,BE的中点， ∴MH//BF,NH//AE, ∴∠AHM=∠ABC,∠BHN=∠BAC, ∴∠MHN=180?-(∠AHM+∠BHN)=180?-(∠ABC+ ∠BAC)=90°, ∴.M=空1∴AE=2M=2×≌MN=EMN. (2)显然当点P在AF上，点Q在CD上时，以A,C,P, Q四点为顶点不可能构成平行四边形； 同理，当点P在AB上，点Q在DE或CE上时，也不可能构 成平行四边形； ∵∠BAD=120°,∴∠BAC=60°, ∴∠ABO=90°-60°=30°. ∵AB=2∴AO=÷AB=≥×2=1. 因此只有当点P在BF上，点Q在 ED上时，才能构成平行 ∴由勾股定理，得 BO=DO =√3. 四边形. ∵点A沿EF折叠与点O重合， 如答图，连接AP,CQ. ∴EF⊥AC,EF平分A0.∵AC⊥BD∴EF//BD 若以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形，BN 易得 EF为△ABD的中位线，,AE 则 PC=Q4. ∴EF=÷BD=÷×(/S+/3)=/3.H ∵四边形AFCE是菱形，点P的速度为5cm/s,点Q的速度 为4cm/s,运动时间为ts, ∴PC=PF+FC=PF+FA=5t cm, QA=(AD+CD)-(QD+CD)=(12-41)cm, 51=12解得1=号 H D A' A Gct ECB D H 5 题答图 6 题答图 B< >D F0; 6.证明：如答图，取NC的中点H,连接 DH,过点H作HE// C BAD,交 BN的延长线于点 E. ∵AB=AC,AD⊥BC,∴D为BC的中点. ∵H为NC的中点，∴DH为△BNC的中位线，∴DH//BN. ∵PD//EH,∴四边形 PDHE是平行四边形，∴HE=PD. 又∵P为AD的中点，∴AP=PD,∴AP=EH. 易证△APN≌△HEN,∴AN=NH. ∴当以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形时， 2题答图 3 题答图1= 3.(1)证明：由折叠知∠ADE=∠A'DE,AE=EG,BC=CH. 具 ∵四边形 ABCD 是矩形，AT D ∴AD=BC,AB//CD.∴∠A'DE=∠AED, ∴∠AED=∠ADE,∴AE=AD,∴EG=CH. EQ D G (2)解：易知∠ADE=45°,∠FGE=∠A=90°, ∴∠DFG=∠ADE=45°,∴DG=FG. ∵GF=AF=√2∴DG=√2∴DF=2∴AD=2+√2. 如答图，由折叠知∠1=∠2,∠3=∠4. ∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,∴∠1+∠3=90°, ∵∠1+∠AFE=90°,∴∠3=∠AFE. 又∵NH=HC,∴AN=NH=HC.∴AN=÷AC 0EK 专项训练七 特殊四边形的性质在动点问题中的巧用 1.解：AE=CF,AE//CF.理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD,AB//CD, ∴∠ABE=∠CDF. 又∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF, ∴AE=CF,∠AEB=∠CFD. ∵∠AEB+∠AED=∠CFD+∠CFB=180°, ∴∠AED=∠CFB.∴AE//CF. B CB CP FF 3 题答图 4 题答图 4.(1)证明：如答图所示. 由(1)知AE=BC,又∵∠A=∠B=90°, ∴△EFA≌△CEB,∴AF=BE, ∴AB=AE+BE=AD+AF=2+√Z+√Z=2+2√Z. ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°,AB=BC=CD=AD. 又∵AE=BF=CG=DH,∴BE=CF=DG=AH, 4.(1)证明：∵PE=BE,∴∠EBP=∠EPB.∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG, 2.证明：(1)连接AC. ∴HE=EF=FG=GH,∠1=∠2,∴四边形 EFGH为菱形. 又∵∠EPH=∠EBC=90°, ∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP, 即∠BPH=∠PBC. ∵在菱形ABCD中，∠B=60°,AB=BC,AB//CD, ∴∠BCD=180°-∠B=120°,△ABC 是等边三角形. 又∵E是BC的中点，∴AE⊥BC. ∵∠AEF=60°,∴∠FEC=90?-∠AEF=30°, ∴∠CFE=180°-∠FEC-∠BCD =180?-30°-120°=30°, ∴∠FEC=∠CFE,∴EC=CF. 又∵BC=CD,∴BC-EC=CD-CF,∴BE=DF. ∵∠1+∠3=90°,∠1=∠2,∴∠2+∠3=90°, ∴∠HEF=90°,∴四边形 EFGH是正方形. (2)解：直线 EG经过一个定点.理由如下： 又∵AD//BC,∴∠APB=∠PBC,∴∠APB=∠BPH. 如答图，连接BD,DE,BG.设 EG与BD交于点 0. (2)解：△PDH的周长不变且为定值8. 证明如下：过点B作BQ⊥PH,垂足为点Q,如答图所示.易知 BE上DG, 由(1)知∠APB=∠BPH, PA[ 又∵∠A=∠BQP=90°,BP=BP, Q ∴△ABP≌△QBP.∴AP=QP,AB EK =BQ. ∴四边形 BCDE 为平行四边形， D ∴BD,EG互相平分，∴BO=OD, ∴点0为正方形ABCD的中心， ∴直线 EG必过正方形 ABCD的中心. H (2)连接AC. G 由(1)知△ABC是等边三角形， 专项训练八 特殊四边形的性质在折叠问题中的巧用 ∵AB=BC,∴BC=BQ. FC∴AB=AC,∠ACB=∠BAC=∠EAF=60°, B又∵∠C=∠BQH=90°,BH=BH,1.(1)证明：由折叠的性质，得∠D=∠D', 4 题答图 —29— ∴Rt△BCH≌Rt△BQH.∴CH=QH. ∴△PDH的周长为PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC= AD+CD=8. 专项训练九 特殊三角形、平行四边形中的最值问题 1.B 2.D 3.D 4.2√3 5.6 6.解：√5. 7.2√3 8.7/5 9.A 10.52 11.15 12.√10 13.2√5 专项训练十 确定一次函数解析式的六种常用方法 {m-84,m=-3.1.解：由题意得 ∴当m=-3时，该函数是关于x的一次函数，其函数解析 式为y=-6x-9. 2.解：将点(2,7),(-3,2)的坐标代入y=kx+b, ?2h+b=7, {=5-3k+b=2,解得，得 故该一次函数的解析式为y=x+5. 3.解：(1)设一次函数解析式为y=kx+b(k,b是常数， 且k≠0), 将点A(3,5)和点B(-4,-9)分别代入y=kx+b, [5=3k+b, 得 +b,[b=-1. ∴这个一次函数的解析式为y=2x-1. (2)∵点C(m,2)在y=2x-1上， ∴2=2m-1.号， 标为2)· 4.解：(1)(5,6)(1,6) (2)∵一次函数y=ax-4(a≠0)的图象经过点C, ∴将点C(5,6)的坐标代入y=ax-4, 得6=5a-4,解得a=2.∴y=2x-4. (3)在y=2x-4中，令y=0,得x=2,∴E(2,0). 所画图象为直线 CE,如答图所示. D Sse=2×6×÷=6。 (4)由题意知，直线y=kx+b与y= 2x-4平行， B(5,2)A(1,/2) 则k=2,∴y=2x+b. 7E 苦 若直线y=2x+b过点B(5,2), 4 题答图 则2×5+b=2, 解得b=-8; 若直线y=2x+b过点D(1,6),则2×1+b=6, 解得b=4.∴-8≤b≤4. 5.解：(1)由题意得k=-2,∴y=-2x+b. 当x=0时，y=6,∴y=-2x+6. (2)当y=2时，2=-2x+6,∴x=2,即m=2. 6.解：(1)点P?的坐标为(3,3). (2)设所求一次函数的解析式为y=kx+b(k,b是常数，且 k≠0). 44-将点P?,P?的坐标代入，得 (=23解得 ∴直线l所表示的一次函数的解析式为y=2x-3. 数学·八年级下册