专项训练五 平行四边形以及特殊平行四边形的判定-【勤径千里马】2023-2024学年八年级下册数学走向假期（人教版，辽宁专版）

专项训练五平行四边形以及特殊平行四边形的判定 ·类型二特嫌平行四边形的判定方法 ·类型一平行四边形 角度】矩形的列定 4.如图，四边形》为平行四边形，0是C的中点，连接0并挺长交AB的随长线于点5， 1如图，在△A中，点F是G的中点，点E是线段AB的陆长线上一动点，查接EF,过点C 且AB=B求证：四边形CD泥是斯形 作GD∥AB,与线段F的廷长线交下点D,连接CE,D 求证：国边形汇是平行四边瑟 5如图，在到边形4CD中，对角线C,即相交于点0，且0是C,D的中点，点E在四边形 2如图，反E,F是四边形AD的对角线D的三等分点，E.GF的藏长线分别平价ABAD, AD外，且∠A=∠语=.求证：图边形4D是矩形， 交点为G,丛 求证， (1)E=2EG (2)国边无AD是平行四边形 6健量幕中◆)如图.点C是E的中点，四边形A印是半行四边形 (1》求证：四边彩ACD是平行边形： 又（韩州中专图，点E在四边形AD的边A》上，连接CF,并法长GE交4的延长线于 (2}如果AR=AE,求证：四边形ACE中是距思 点F,已知AE=E,FECE (1》求证：△AEFC△D5C: (2》若AD∥C,求证：四边形AD为平行四边形 -15- 数学·八年最谓 角度2菱形的判置 角度3正方形的判定 下.如图，在平行四边形ACD中，对角规AC,D相交于点O,M是BD上任意一点，连接AM并 0.(森用中考)如图，在菱形AD中，对角规C,D相交于点心，点E,F在对角餐D上， 延长至点N交C于点H,使A=N,克接N,V 且E=D5,DE=A (1》求证0W∥CX: 求证：国边形AECF是正方形. (2)连接Cr.若AB⊥AN.且■AR,求证：四边形CM是菱形 &如图，在矩形AD中，过对角线C的中点0作EF⊥AC,分别交C,AD于点E,F, IL,如s,已知△4中，∠G=0,∠CAR∠4平分线相交于点0，E1C干点B,F 连接A5,CR 上A心于点F,求任：四边思心F为正方形 (1》求正：四边形AF是菱形 (2)若DF=3,∠汇=0，求四边形A℃李的播长 12.,在更形AD中，点E,F分别在C,CD边上，且A5=AF,∠求F=45 9(其章中有十图，在口ACD中，G,D交于点D,点E.F在AG上，AE=CF (1》求正四边移EFD是平行四边形： (求证：四功形AD是正方形： (2)若∠BG=∠4C,求E:四边形BFD是菱悲 {21若AF32,E1,求四边形ACD的再积 2题周 一16一∴AB=13 cm. (2)如答图，过点G作GM⊥AD于点M, 6.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， 即蚂蚁从A点爬到B点的最短路程约为 13 cm. 因为GE=DE=3,AE=5,AG=4, 且÷AC×GE=÷AE×CM, 所以CW=号，所以Sean=÷Db·cM=号， 即阴影部分的面积为号 ∴AD//BC,且AD=BC. ∵点C是BE的中点，∴BC=CE,∴AD=CE. 又∵AD//CE,∴四边形ACED是平行四边形. D E" B (2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC. ∵AB=AE,∴DC=AE. 又∵四边形ACED是平行四边形，∴四边形 ACED是矩形. Al 4 题答图 5.解：(1)经分析，将长方体盒子沿侧棱AB剪开，部分展开后 如答图①时，可得到最短路程，连接CD. 已知长方体盒子(无盖)的长、宽、高分别是12cm,8cm, 30 cm, 7.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC. 专项训练五 平行四边形以及特殊平行四边形的判定 ∵AM=MN,∴OM是△ACN的中位线， ∴ OM //CN.1.证明：∵CD//AB,∴∠CDF=∠BEF,∠DCF=∠EBF. ∵F是BC的中点，∴BF=CF. cNa mA{ ∴△DCF≌△EBF(AAS), ∴ DC = EB. 即 DE=12 cm,EF=30 cm,AE=8 cm, 所以AD=AE+DE=8+12=20(cm), AC=÷AB=15mm (2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC. ∵AD⊥AN,∴BC⊥MN.∵AB=AC,∴BH=CH. 由(1)知OM//CN,∴∠MBH=∠NCH. ∠MBH=∠NCH, {BH=CH,在△MBH和△NCH中， ∠BHM=∠CHN, ∴△MBH≌△NCH(ASA),∴MH=NH, ∴四边形 BNCM 是平行四边形. 又∵BC⊥MN,∴平行四边形 BNCM 是菱形. 在Rt△ACD中，AD2+AC2=CD2,即202+152=CD, 所以CD=25cm(负值已舍去).故最短路程是 25 cm. (2)如答图②,连接AG,BG. ∵CD//BE,∴四边形 BECD是平行四边形. A 2.证明：(1)如答图，连接AC交 BD于点O,连接AE,AF. ∵G是AB的中点，BE=EF, D ∴EG是△ABF的中位线， F H∴EG//AF,即 CE//AF. 同理可得CF//AE,∴四边形 EA bGAFCE 是平行四边形， 2 题答图∴ CE=AF. E CD Dr 8.(1)证明：∵在矩形ABCD中，0是对角线AC的中点， 且EF⊥AC,∴AF=CF,AE=CE,OA=OC. ∵四边形 ABCD是矩形，∴AD//BC, ∴∠AFO =∠CEO. {在△AOF 和△COE中， ∴△AOF≌△COE(AAS), ∴AF=CE,∴AF=CF=CE=AE, ∴四边形 AECF 是菱形. iC C 30 B ∵EG是△ABF的中位线，∴AF=2EG,∴CE=2EG. G 12F (2)由(1)知，四边形AFCE是平行四边形， ∴OA=0C,OE=OF. 5 题答图① 5题答图② 在 Rt△BFG中，GF=12cm,BF=8cm,由勾股定理，得 GB2=GF2+BF2=208. 又：BE=DF,∴BE+OE=DF+OF,即OB=OD, ∴四边形ABCD是平行四边形.在Rt△AGB中，GB2=208,AB=30cm,由勾股定理，得 AG2=AB2+GB2=1 108. (2)解：24. 3.证明：(1)在△AEF和△DEC中， ∴△AEF≌△DEC(SAS). 9.证明：(1)在□ABCD中，OA=0C,OB=OD.故给该长方体盒子加上盖子，能放入木棒的最大长度的平 ∵AE=CF,∴OE=OF.∴四边形 EBFD是平行四边形.方是1108. 专项训练四勾股定理在折叠中的应用 (2)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//DC,∴∠BAC=∠DCA.又∵∠BAC=∠DAC, ∴∠DCA=∠DAC.∴DA=DC.∵OA=OC,∴DB⊥EF. ∴平行四边形 EBFD 是菱形. (2)∵△AEF=△DEC,∴∠AFE=∠DCE,∴AB//CD. ∵AD//BC,∴四边形ABCD为平行四边形.(2)45?1.解：(1)3. 4.证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=CB,AD//CB,∴∠ODE=∠OCB. ∵0是DC的中点，∴OD=OC. [00tocn,在△ODE和△OCB中， l∠DOE=∠COB, ∴△ODE≌△OCB(ASA), ∴DE=CB,OE=OB. ∵OD=0C,∴四边形CBDE是平行四边形. ∵AD=CB,DE=CB,∴AD=DE. 又∵AB=BE,∴BD⊥AE,∴∠BDE=90°, ∴平行四边形 CBDE是矩形. 2.解：(1)设CE=x,则BE=8-x, 由题意得AE=BE=8-x. 由勾股定理，得x2+62=(8-x)2, 解得x=子.即CB的长为子 10.证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD. ∵BE=DF,∴OE=OF, ∴四边形AECF是菱形.∵OE=OA, ∴OE=OF=OA=OC,即EF=AC, (2)∵点B'是AC的中点， ∴CB'=÷AC=3. 设CE=y,类比(1)中的解法， 可列出方程y2+32=(8-y)2, 解得y-言 ⅢCR的长为管 ∴菱形AECF是正方形. 11.证明：如答图，过点D作DG⊥AB交AB于点G. ∵DE⊥BC,DF⊥AC,∴∠C =∠DEC=∠DFC=90°, ∴四边形 CEDF为矩形. ∵AD平分∠CAB,DF⊥AC, DG⊥AB,∴DF=DG. C E D 5.证明：如答图，连接 EO. 11 题答图 ∵BD平分∠ABC,DG⊥AB, DE⊥BC,∴DE=DG, ∴DE=DF,∴四边形CEDF为正方形. ∵0是AC,BD的中点，∴AO= CO,BO=DO,3.解：AB的长为5. DAn∴四边形ABCD是平行四边形.4.解：AP的长为4.8. 在 Rt△EBD中，∵0为BD的中 12.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，G5.解：(1)如答图，由折叠的性质可得 ∠AGE=∠ADC=90°,DE=GE,AG = CD=4 设DE=GE=x,则AE=8-x, 因为在Rt△AEG中，AG2+GE2=AE2, 所以42+x2=(8-x)2,解得x=3,所以 0 点∴EO=÷BD. ∴∠B=∠D=∠C=90°.:D BL C应唐 ∵AE=AF,∴∠AFE=∠AEF.在Rt△AEC中，∵0为AC的中 5 题答图 ∵∠CEF=45°,∠C=90°,∴∠CFE=45°, 点∴EO=÷AC, ∴∠AFD=∠AEB,∴△ABE≌△ADF,c ∴AB=AD,矩形 ABCD是正方形. 5题答图 ∴AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形.DE=3.AE=5 (2)解：17. 专项训练六 构造中位线解题的五种常用方法 1.(1)证明：如答图，连接 CD,AE. 由三角形中位线定理可得PWL÷CD,PNL=AE ∵△ABD和△BCE是等边三角形， ∴AB=DB,BE=BC,∠ABD=∠CBE=60°, ∴∠ABE=∠DBC,∴△ABE≌△DBC, ∴AE=DC.∴PM=PN. (2)解：如答图，设PM交AE于点F,PN交CD于点G, AE交CD于点H,AE交BD于点Q. 由(1)知△ABE≌△DBC, ∴∠BAE=∠BDC. 又∵∠DQH=∠BQA, ∴∠AHD=∠ABD=60°,∴∠FHG=120°, 易证四边形 PFHG为平行四边形，∴∠MPN=120°. E N^ D H AN DNM Q A1 BVBP C M c 1 题答图 2题答图 2.解：如答图，延长 BD交AF于点 N. 由题易知∠NAD=∠BAD, ∠ADN=∠ADB=90°. 又：AD=AD,∴△AND≌△ABD, ∴DN=DB,AN=AB. 又∵M为BC的中点，∴DM为△BNC 的中位线， DANC=N+AC)=÷(AB+AC)=15. 3.解：如答图，延长CF交AB于点G,交AD于点H. ∵AE平分∠BAC, ∴∠GAF=∠CAF∵AF⊥CG,∴∠AFG=∠AFC. [∠GAF=∠CAF, 在△AFG和△AFC中，{AF=AF, l∠AFG=∠AFC, ∴△AFG≌△AFC(ASA),∴AG=AC,GF=CF. 又∵点 D是BC的中点，∴DF是△CBG的中位线， ∴DF=÷BC=÷(AB-AC)=÷(AB-AC) =÷×(10-6)=2. C FE4N A* BG F E wB DE C 3 题答图 4 题答图 4.证明：如答图，延长 FE至点N,使 EN=EF,连接 BN,AN, 易得ME=÷AN. ∵EF=EN,∠BEF=90°,∴BE垂直平分 FN,∴BF=BN, ∴∠BNF=∠BFN. ∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF=90°, ∴∠BFN=45°,∴∠BNF=45°, 数学·八年级下册 —28—