专项训练四 勾股定理在折叠中的应用-【勤径千里马】2023-2024学年八年级下册数学走向假期（人教版，辽宁专版）

专项训练四 勾股定理在折叠中的应用 ·类型二 长方形中的折叠问题 ·类型一 三角形中的折叠问题 3.如图.已知E为长方形纸片ACD的边CD上一点.将纸片没A折叠,点D对点7V恰好 1.如图,在△ADC中.乙AC-90D为BC上一点.将△ACD滑AD折叠,点C恰好落 落在t上若A0-3.-1求A8的长 在A为上点是.且B-4.6-7 {X (1)求B长: (②求AC的长 1 4.如图.在长方形ABC0中.AB-8.nC-6.P为AD上一点,将△ARP沿PP翻折至AEBP.P 与C相交于点7且00求AP的 2.在△ABC中.C-90AC-6.aC-8.D.分别是抖A和直角边CB上的点.把△AB 沿着线D折叠,项点B的对应点是B (1)加图①.如果点和而点A合,求(的长 5.如.在长方形ARCD中AA.8.将长方形AC段沿F折叠.使点C与点A重合,点 (2如图.如果点是AC的点求C的长。 D落在点G处 (1)求A初D的长: (2)求阴分的而程 2 5题 .入下 一14-∴AB=13 cm. (2)如答图，过点G作GM⊥AD于点M, 6.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， 即蚂蚁从A点爬到B点的最短路程约为 13 cm. 因为GE=DE=3,AE=5,AG=4, 且÷AC×GE=÷AE×CM, 所以CW=号，所以Sean=÷Db·cM=号， 即阴影部分的面积为号 ∴AD//BC,且AD=BC. ∵点C是BE的中点，∴BC=CE,∴AD=CE. 又∵AD//CE,∴四边形ACED是平行四边形. D E" B (2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC. ∵AB=AE,∴DC=AE. 又∵四边形ACED是平行四边形，∴四边形 ACED是矩形. Al 4 题答图 5.解：(1)经分析，将长方体盒子沿侧棱AB剪开，部分展开后 如答图①时，可得到最短路程，连接CD. 已知长方体盒子(无盖)的长、宽、高分别是12cm,8cm, 30 cm, 7.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC. 专项训练五 平行四边形以及特殊平行四边形的判定 ∵AM=MN,∴OM是△ACN的中位线， ∴ OM //CN.1.证明：∵CD//AB,∴∠CDF=∠BEF,∠DCF=∠EBF. ∵F是BC的中点，∴BF=CF. cNa mA{ ∴△DCF≌△EBF(AAS), ∴ DC = EB. 即 DE=12 cm,EF=30 cm,AE=8 cm, 所以AD=AE+DE=8+12=20(cm), AC=÷AB=15mm (2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC. ∵AD⊥AN,∴BC⊥MN.∵AB=AC,∴BH=CH. 由(1)知OM//CN,∴∠MBH=∠NCH. ∠MBH=∠NCH, {BH=CH,在△MBH和△NCH中， ∠BHM=∠CHN, ∴△MBH≌△NCH(ASA),∴MH=NH, ∴四边形 BNCM 是平行四边形. 又∵BC⊥MN,∴平行四边形 BNCM 是菱形. 在Rt△ACD中，AD2+AC2=CD2,即202+152=CD, 所以CD=25cm(负值已舍去).故最短路程是 25 cm. (2)如答图②,连接AG,BG. ∵CD//BE,∴四边形 BECD是平行四边形. A 2.证明：(1)如答图，连接AC交 BD于点O,连接AE,AF. ∵G是AB的中点，BE=EF, D ∴EG是△ABF的中位线， F H∴EG//AF,即 CE//AF. 同理可得CF//AE,∴四边形 EA bGAFCE 是平行四边形， 2 题答图∴ CE=AF. E CD Dr 8.(1)证明：∵在矩形ABCD中，0是对角线AC的中点， 且EF⊥AC,∴AF=CF,AE=CE,OA=OC. ∵四边形 ABCD是矩形，∴AD//BC, ∴∠AFO =∠CEO. {在△AOF 和△COE中， ∴△AOF≌△COE(AAS), ∴AF=CE,∴AF=CF=CE=AE, ∴四边形 AECF 是菱形. iC C 30 B ∵EG是△ABF的中位线，∴AF=2EG,∴CE=2EG. G 12F (2)由(1)知，四边形AFCE是平行四边形， ∴OA=0C,OE=OF. 5 题答图① 5题答图② 在 Rt△BFG中，GF=12cm,BF=8cm,由勾股定理，得 GB2=GF2+BF2=208. 又：BE=DF,∴BE+OE=DF+OF,即OB=OD, ∴四边形ABCD是平行四边形.在Rt△AGB中，GB2=208,AB=30cm,由勾股定理，得 AG2=AB2+GB2=1 108. (2)解：24. 3.证明：(1)在△AEF和△DEC中， ∴△AEF≌△DEC(SAS). 9.证明：(1)在□ABCD中，OA=0C,OB=OD.故给该长方体盒子加上盖子，能放入木棒的最大长度的平 ∵AE=CF,∴OE=OF.∴四边形 EBFD是平行四边形.方是1108. 专项训练四勾股定理在折叠中的应用 (2)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//DC,∴∠BAC=∠DCA.又∵∠BAC=∠DAC, ∴∠DCA=∠DAC.∴DA=DC.∵OA=OC,∴DB⊥EF. ∴平行四边形 EBFD 是菱形. (2)∵△AEF=△DEC,∴∠AFE=∠DCE,∴AB//CD. ∵AD//BC,∴四边形ABCD为平行四边形.(2)45?1.解：(1)3. 4.证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=CB,AD//CB,∴∠ODE=∠OCB. ∵0是DC的中点，∴OD=OC. [00tocn,在△ODE和△OCB中， l∠DOE=∠COB, ∴△ODE≌△OCB(ASA), ∴DE=CB,OE=OB. ∵OD=0C,∴四边形CBDE是平行四边形. ∵AD=CB,DE=CB,∴AD=DE. 又∵AB=BE,∴BD⊥AE,∴∠BDE=90°, ∴平行四边形 CBDE是矩形. 2.解：(1)设CE=x,则BE=8-x, 由题意得AE=BE=8-x. 由勾股定理，得x2+62=(8-x)2, 解得x=子.即CB的长为子 10.证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD. ∵BE=DF,∴OE=OF, ∴四边形AECF是菱形.∵OE=OA, ∴OE=OF=OA=OC,即EF=AC, (2)∵点B'是AC的中点， ∴CB'=÷AC=3. 设CE=y,类比(1)中的解法， 可列出方程y2+32=(8-y)2, 解得y-言 ⅢCR的长为管 ∴菱形AECF是正方形. 11.证明：如答图，过点D作DG⊥AB交AB于点G. ∵DE⊥BC,DF⊥AC,∴∠C =∠DEC=∠DFC=90°, ∴四边形 CEDF为矩形. ∵AD平分∠CAB,DF⊥AC, DG⊥AB,∴DF=DG. C E D 5.证明：如答图，连接 EO. 11 题答图 ∵BD平分∠ABC,DG⊥AB, DE⊥BC,∴DE=DG, ∴DE=DF,∴四边形CEDF为正方形. ∵0是AC,BD的中点，∴AO= CO,BO=DO,3.解：AB的长为5. DAn∴四边形ABCD是平行四边形.4.解：AP的长为4.8. 在 Rt△EBD中，∵0为BD的中 12.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，G5.解：(1)如答图，由折叠的性质可得 ∠AGE=∠ADC=90°,DE=GE,AG = CD=4 设DE=GE=x,则AE=8-x, 因为在Rt△AEG中，AG2+GE2=AE2, 所以42+x2=(8-x)2,解得x=3,所以 0 点∴EO=÷BD. ∴∠B=∠D=∠C=90°.:D BL C应唐 ∵AE=AF,∴∠AFE=∠AEF.在Rt△AEC中，∵0为AC的中 5 题答图 ∵∠CEF=45°,∠C=90°,∴∠CFE=45°, 点∴EO=÷AC, ∴∠AFD=∠AEB,∴△ABE≌△ADF,c ∴AB=AD,矩形 ABCD是正方形. 5题答图 ∴AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形.DE=3.AE=5 (2)解：17. 专项训练六 构造中位线解题的五种常用方法 1.(1)证明：如答图，连接 CD,AE. 由三角形中位线定理可得PWL÷CD,PNL=AE ∵△ABD和△BCE是等边三角形， ∴AB=DB,BE=BC,∠ABD=∠CBE=60°, ∴∠ABE=∠DBC,∴△ABE≌△DBC, ∴AE=DC.∴PM=PN. (2)解：如答图，设PM交AE于点F,PN交CD于点G, AE交CD于点H,AE交BD于点Q. 由(1)知△ABE≌△DBC, ∴∠BAE=∠BDC. 又∵∠DQH=∠BQA, ∴∠AHD=∠ABD=60°,∴∠FHG=120°, 易证四边形 PFHG为平行四边形，∴∠MPN=120°. E N^ D H AN DNM Q A1 BVBP C M c 1 题答图 2题答图 2.解：如答图，延长 BD交AF于点 N. 由题易知∠NAD=∠BAD, ∠ADN=∠ADB=90°. 又：AD=AD,∴△AND≌△ABD, ∴DN=DB,AN=AB. 又∵M为BC的中点，∴DM为△BNC 的中位线， DANC=N+AC)=÷(AB+AC)=15. 3.解：如答图，延长CF交AB于点G,交AD于点H. ∵AE平分∠BAC, ∴∠GAF=∠CAF∵AF⊥CG,∴∠AFG=∠AFC. [∠GAF=∠CAF, 在△AFG和△AFC中，{AF=AF, l∠AFG=∠AFC, ∴△AFG≌△AFC(ASA),∴AG=AC,GF=CF. 又∵点 D是BC的中点，∴DF是△CBG的中位线， ∴DF=÷BC=÷(AB-AC)=÷(AB-AC) =÷×(10-6)=2. C FE4N A* BG F E wB DE C 3 题答图 4 题答图 4.证明：如答图，延长 FE至点N,使 EN=EF,连接 BN,AN, 易得ME=÷AN. ∵EF=EN,∠BEF=90°,∴BE垂直平分 FN,∴BF=BN, ∴∠BNF=∠BFN. ∵△BEF为等腰直角三角形，∠BEF=90°, ∴∠BFN=45°,∴∠BNF=45°, 数学·八年级下册 —28—