专项训练十 确定一次函数解析式的六种常用方法-【勤径千里马】2023-2024学年八年级下册数学走向假期（人教版，吉林专版）

专项训练十确定一次函数解析式的六种常用方法 摩方法三极格图形性质硝定一次函数解析式 ·方法一棍据函数定义确定一次面数解析式 4在如周所示的平而直角坐标系中，国边形CD是正方形，且面点A,影的坐标分别为(1,2)， (5,2. 1.当m为何植时.雨数方=〔m一3)x”++3m是关于言的一次函数？并表其函数解析式 (1》点C的坐标为 ,点D的坐标为 (2》若一次丽数y三斯-4〔a0)的图象经过点C,求丽数屏析式： (3)若2)中函数的周象与玉轴交于点E,角出图象，并求△CE的向积： (4)若直线)=+6与其2)中的雨数图象平行且位于B.D丙点之闻（忽常A,D焉点》，求6 的范围. 4 4胆图 ·方法二根据待定系数法确定一次函敏解析式 ·方法四根据平行，平移规律确定一次函数解析式 2已知一次南数y=灯+的图单过点(2,7，-3,2野，求夜一次所数的解析式 5已知直线y=复+6的象半行于直线y=-2:,且经过点(0.6) (1)求该直线的解解式： (2》如果这条直线过点(M,2),求m的值 玉已知一次屑数的图象经过点(35)和点-4，一9 6如图，官线1上有一点巴2,1)，将点共先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长 〔1》求这个一次函数的解所式： (2)若点C(m,2)是该雨数图象上一点，求点C的坐标 度得到点：，点”恰好在直线'上 (1)写出友户：的坐标： (2》求直线1所表示的一次两数的解析式； (3)若将点户先向右平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点八，请判断 点”，是杏在线」上 -21一 数学·八年最明 ◆方法五 极据实际问题中变量间的数量关系确定一次函数解析式 ·方法六根据图象确定一次函数解析式 工.生态公网计，在同内的拔地上造一片有A,B两种树的祖合林.需墨购买这两种将苗2G00限， 9某县在实笔“村村道”工程中，决定在A.B两甘之可接筑一条公路，甲，乙再个工程队分别 钟植A.B两种树苗的详细信息扣下表： 从A.B两村司时相向开的修筑，临工期则.乙以因另有任务是前离开，余下的任务由甲队单 单的 遥招事 容务香 赖完成，直到道路修通.图是甲、乙再个工程队所修道路的长度风米)与修筑时列（天）之 兄耀 阿的侨数图象，请根据图象所据供的信息，求该公路的总长度 A 5 3 4 设购买A种树苗x禄，迹这片林的总数用为y无，解答下列间题： (》写出元)与《恨)之可的函数关系式： (2》假设这批何古钟植后成话10提，制香这片林的总贵用雷家少元？ 416 号后图 《将生东蜜幕转化为督济资源，进声非腰合，生5螺色授兴之路是关盛为做好生态与产业 1眼.1菜州中来)某校识学生从学校出发，乘坐大巴藏且某粒盖行研学话动，大巴出发1小时 雕合，尊进农衣村以色发派，某生态示范同培有山品种优良的甲种有桃水果.该有机水果 后，学校因事程人章坐桥车相同路钱君赶.已短大巴行驶前违度是40千米/时，新军行跑 写线骑偶方法是送货上门，隆年★收取送货费0元外，购买本果不超过5千克时，找每千克 的世是60千米时， 2元北费，超过5千克时，超出分技句千克5元以息设同城领客一次购买千克)甲种 (11轿出发后多少小追上大巴”此时，丙车与学2用距多少千米？ 有机水果，所需总费用为（元 2)如图。图中0所，A用分累表示大但，能车离开幸校的路程（千米）与大巴行2的 (1》求y与x之闻的商数解析式 时间（小时）的函数关系的图象，试求点B物坐标和厅所作红线的解析式： (2》己知同城李阿期在该态示道因一次订购甲种有机水果其龙贵155元.求李阿院这次订 (3)程段大巴出发小桥车出发泊赶，桥行随了.5小时叶治上大但.求9的值 购甲种有机水果多少克 -22-∴∠FBN=90°,即∠FBA+∠ABN=90°. 又∵∠FBA+∠CBF=90°,∴∠CBF=∠ABN. 在△BCF和△BAN中， BF=BN, ∠CBF=∠ABN, [BC=BA, ∴ ∠BAE=∠CAE CD=AD',∠D'AE=∠DCE. 易知∠BCD=120°,∠ACB=60°, ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ACF=60°=∠B, ∴∠B=∠D,AB=CD,∠BCD=∠BAD, ∴∠B=∠D',AB=AD',∠D'AE=∠BAD, 即∠1+∠2=∠2+∠3, ∴△ABE≌△ACF,∴AE=AF. 又∵∠EAF=60°, ∴△AEF是等边三角形. ∴∠1=∠3. ∴△ABE≌△AD'F.∴△BCF=△BAN(SAS),∴CF=AN. ∴ME=2N=2cR. 3.解：(1)∵四边形ABCD是矩形，AD//BC, ∴∠OAE=∠OCF,∠AEO=∠CFO. ∵EF垂直平分AC,垂足为点0,∴OA=OC, ∴△AOE≌△COF,∴OE=OF, ∴四边形 AFCE为平行四边形. 又∵EF⊥AC,∴四边形AFCE为菱形，∴AF=CF. 设AF=CF=xcm,则BF=(8-x)cm. 在Rt△ABF中，AB=4cm,由勾股定理，得42+(8-x)2= (2)解：四边形AECF是菱形.理由如下： 由折叠的性质，得AE=EC,∠4=∠5,AF=FC. 5.证明：如答图，取AB的中点H,连接MH,NH, ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC, ∴∠6=∠5=∠4,∴FC=AF=AE=EC, ∴四边形AECF是菱形.则MM=÷BF,NH=÷AE. ∵CE=CF,CA=CB,∴AE=BF, ∴MH=NH. 2.解：如答图，连接 BD,AC,则O为AC与BD的交点. ∵四边形ABCD是菱形， x2,解得x=5.∴AF=5 cm. ∴AC⊥BD,AC平分 BD,AC平分∠BAD.∵点M,H,N分别为AF,AB,BE的中点， ∴MH//BF,NH//AE, ∴∠AHM=∠ABC,∠BHN=∠BAC, ∴∠MHN=180?-(∠AHM+∠BHN)=180?-(∠ABC+ ∠BAC)=90°, ∴.M=空1∴AE=2M=2×≌MN=EMN. (2)显然当点P在AF上，点Q在CD上时，以A,C,P, Q四点为顶点不可能构成平行四边形； 同理，当点P在AB上，点Q在DE或CE上时，也不可能构 成平行四边形； ∵∠BAD=120°,∴∠BAC=60°, ∴∠ABO=90°-60°=30°. ∵AB=2∴AO=÷AB=≥×2=1. 因此只有当点P在BF上，点Q在 ED上时，才能构成平行 ∴由勾股定理，得 BO=DO =√3. 四边形. ∵点A沿EF折叠与点O重合， 如答图，连接AP,CQ. ∴EF⊥AC,EF平分A0.∵AC⊥BD∴EF//BD 若以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形，BN 易得 EF为△ABD的中位线，,AE 则 PC=Q4. ∴EF=÷BD=÷×(/S+/3)=/3.H ∵四边形AFCE是菱形，点P的速度为5cm/s,点Q的速度 为4cm/s,运动时间为ts, ∴PC=PF+FC=PF+FA=5t cm, QA=(AD+CD)-(QD+CD)=(12-41)cm, 51=12解得1=号 H D A' A Gct ECB D H 5 题答图 6 题答图 B< >D F0; 6.证明：如答图，取NC的中点H,连接 DH,过点H作HE// C BAD,交 BN的延长线于点 E. ∵AB=AC,AD⊥BC,∴D为BC的中点. ∵H为NC的中点，∴DH为△BNC的中位线，∴DH//BN. ∵PD//EH,∴四边形 PDHE是平行四边形，∴HE=PD. 又∵P为AD的中点，∴AP=PD,∴AP=EH. 易证△APN≌△HEN,∴AN=NH. ∴当以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形时， 2题答图 3 题答图1= 3.(1)证明：由折叠知∠ADE=∠A'DE,AE=EG,BC=CH. 具 ∵四边形 ABCD 是矩形，AT D ∴AD=BC,AB//CD.∴∠A'DE=∠AED, ∴∠AED=∠ADE,∴AE=AD,∴EG=CH. EQ D G (2)解：易知∠ADE=45°,∠FGE=∠A=90°, ∴∠DFG=∠ADE=45°,∴DG=FG. ∵GF=AF=√2∴DG=√2∴DF=2∴AD=2+√2. 如答图，由折叠知∠1=∠2,∠3=∠4. ∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,∴∠1+∠3=90°, ∵∠1+∠AFE=90°,∴∠3=∠AFE. 又∵NH=HC,∴AN=NH=HC.∴AN=÷AC 0EK 专项训练七 特殊四边形的性质在动点问题中的巧用 1.解：AE=CF,AE//CF.理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD,AB//CD, ∴∠ABE=∠CDF. 又∵BE=DF,∴△ABE≌△CDF, ∴AE=CF,∠AEB=∠CFD. ∵∠AEB+∠AED=∠CFD+∠CFB=180°, ∴∠AED=∠CFB.∴AE//CF. B CB CP FF 3 题答图 4 题答图 4.(1)证明：如答图所示. 由(1)知AE=BC,又∵∠A=∠B=90°, ∴△EFA≌△CEB,∴AF=BE, ∴AB=AE+BE=AD+AF=2+√Z+√Z=2+2√Z. ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°,AB=BC=CD=AD. 又∵AE=BF=CG=DH,∴BE=CF=DG=AH, 4.(1)证明：∵PE=BE,∴∠EBP=∠EPB.∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG, 2.证明：(1)连接AC. ∴HE=EF=FG=GH,∠1=∠2,∴四边形 EFGH为菱形. 又∵∠EPH=∠EBC=90°, ∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP, 即∠BPH=∠PBC. ∵在菱形ABCD中，∠B=60°,AB=BC,AB//CD, ∴∠BCD=180°-∠B=120°,△ABC 是等边三角形. 又∵E是BC的中点，∴AE⊥BC. ∵∠AEF=60°,∴∠FEC=90?-∠AEF=30°, ∴∠CFE=180°-∠FEC-∠BCD =180?-30°-120°=30°, ∴∠FEC=∠CFE,∴EC=CF. 又∵BC=CD,∴BC-EC=CD-CF,∴BE=DF. ∵∠1+∠3=90°,∠1=∠2,∴∠2+∠3=90°, ∴∠HEF=90°,∴四边形 EFGH是正方形. (2)解：直线 EG经过一个定点.理由如下： 又∵AD//BC,∴∠APB=∠PBC,∴∠APB=∠BPH. 如答图，连接BD,DE,BG.设 EG与BD交于点 0. (2)解：△PDH的周长不变且为定值8. 证明如下：过点B作BQ⊥PH,垂足为点Q,如答图所示.易知 BE上DG, 由(1)知∠APB=∠BPH, PA[ 又∵∠A=∠BQP=90°,BP=BP, Q ∴△ABP≌△QBP.∴AP=QP,AB EK =BQ. ∴四边形 BCDE 为平行四边形， D ∴BD,EG互相平分，∴BO=OD, ∴点0为正方形ABCD的中心， ∴直线 EG必过正方形 ABCD的中心. H (2)连接AC. G 由(1)知△ABC是等边三角形， 专项训练八 特殊四边形的性质在折叠问题中的巧用 ∵AB=BC,∴BC=BQ. FC∴AB=AC,∠ACB=∠BAC=∠EAF=60°, B又∵∠C=∠BQH=90°,BH=BH,1.(1)证明：由折叠的性质，得∠D=∠D', 4 题答图 —29— ∴Rt△BCH≌Rt△BQH.∴CH=QH. ∴△PDH的周长为PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC= AD+CD=8. 专项训练九 特殊三角形、平行四边形中的最值问题 1.B 2.D 3.D 4.2√3 5.6 6.解：√5. 7.2√3 8.7/5 9.A 10.52 11.15 12.√10 13.2√5 专项训练十 确定一次函数解析式的六种常用方法 {m-84,m=-3.1.解：由题意得 ∴当m=-3时，该函数是关于x的一次函数，其函数解析 式为y=-6x-9. 2.解：将点(2,7),(-3,2)的坐标代入y=kx+b, ?2h+b=7, {=5-3k+b=2,解得，得 故该一次函数的解析式为y=x+5. 3.解：(1)设一次函数解析式为y=kx+b(k,b是常数， 且k≠0), 将点A(3,5)和点B(-4,-9)分别代入y=kx+b, [5=3k+b, 得 +b,[b=-1. ∴这个一次函数的解析式为y=2x-1. (2)∵点C(m,2)在y=2x-1上， ∴2=2m-1.号， 标为2)· 4.解：(1)(5,6)(1,6) (2)∵一次函数y=ax-4(a≠0)的图象经过点C, ∴将点C(5,6)的坐标代入y=ax-4, 得6=5a-4,解得a=2.∴y=2x-4. (3)在y=2x-4中，令y=0,得x=2,∴E(2,0). 所画图象为直线 CE,如答图所示. D Sse=2×6×÷=6。 (4)由题意知，直线y=kx+b与y= 2x-4平行， B(5,2)A(1,/2) 则k=2,∴y=2x+b. 7E 苦 若直线y=2x+b过点B(5,2), 4 题答图 则2×5+b=2, 解得b=-8; 若直线y=2x+b过点D(1,6),则2×1+b=6, 解得b=4.∴-8≤b≤4. 5.解：(1)由题意得k=-2,∴y=-2x+b. 当x=0时，y=6,∴y=-2x+6. (2)当y=2时，2=-2x+6,∴x=2,即m=2. 6.解：(1)点P?的坐标为(3,3). (2)设所求一次函数的解析式为y=kx+b(k,b是常数，且 k≠0). 44-将点P?,P?的坐标代入，得 (=23解得 ∴直线l所表示的一次函数的解析式为y=2x-3. 数学·八年级下册 (3)由题意得点P?的坐标为(6,9). ∵AB=4,A(-2,0),∴点B的坐标为(2,0). 设总费用为W元， 果(100-x)千克，由题知40≤x≤60. 当x=6时，y=2×6-3=9,∴点P?在直线l上. 把点 B(2,0)代入y=-x+n,得-2+n=0,解得n=2, 当40≤x≤50时，w=30x+25(100-x)=5x+2 500. 此时，当x=40时，u最小，最小值为2700; 则W=6.4x+32+7(45-x)=-0.6x+347. 7.解：(1)y=-6x+48000(0<x<2000). ∴y=-x+2. ∵-0.6<0,∴y随x的增大而减小， 当50<x≤60时，w=24x+300+25(100-x)(2)造这片林的总费用需45000 元. ∴当x=35,45-x=10时，总费用最低， 即购买B种树苗35棵，A种树苗10棵时，总费用最低， =-x+2 800.8.解：(1)根据题意，得 解方程组 此时，当x=60时，w最小，最小值为2740.∵2740>2700, ∴当x=40时，付款总金额最少，此时购进乙种水果 100-40=60(千克). 当0<x≤5时，y=20x+10; 当x>5时，y=20×5+10+15(x-5)=15x+35. ∴y与x之间的函数解析式为 y=-[13 Wm=-0.6×35+347 =326(元). 3.解：(1)ym=0.8x. 二点D的坐标为(一子，号) =a 综上所述，购进甲种水果40千克，乙种水果60千克，才能使经销商付款总金额最少.(2)当x=0时，y=-x+2=2, ∴点C的坐标为(0,2), (2)当0<x<2000时，0.8x<x,到甲商店购买更省钱； 当x≥2000时，若到甲商店购买更省钱， (3)当0≤}a≤50,O≤a≤125时，(40-30)×号a+(2)∵20×5+10=110<155, ∴李阿姨这次订购甲种有机水果超过5千克， ∴15x+35=155,解得x=8. ∴李阿姨这次订购甲种有机水果8千克. ∴.Sp=Sm-So=÷×4×号-÷×2×2=° 则0.8x<0.7x+600,解得x<6000; 若到乙商店购买更省钱，则 (36-25)×号4≥1650,解得a≥155,不符合题意(舍); (3)点E的坐标为(2/2-2,0),(-2√2-2,0),(2,0),(0,0). 0.8x>0.7x+600,解得x>6000; 若到甲、乙两商店购买一样省钱，则 当ξa>50,即a>125时，3.解：(1)∵1×2≠2×(1+2),4×4=2×(4+4), ∴点M不是和谐点，点N是和谐点. 9.解：该公路的总长度是1800米. 10.解：(1)设轿车出发后x小时追上大巴， (40-30)×50+(40-24)(}a-50)+(36-25)×号4≥(2)①当a>0时，(a+3)×2=3a,∴a=6,∴P(6,3). 0.8x=0.7x+600,解得x=6 000.依题意得40(x+1)=60x,解得x=2. 故当购买金额按原价小于6000元时，到甲商店购买更 省钱； ∵点P在直线y=-x+b上， ∴轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相距 60×2=120(千米). 1650,解得a≥150.∴a的最小值为150. ∴代入，得3=-6+b,解得b=9; 专项训练十三 数据的分析综合训练题 ②当a<0时，(-a+3)×2=-3a,∴a=-6. ∵点P在直线y=-x+b上， ∴代入，得3=6+b,解得b=-3. 当购买金额按原价大于6000元时，到乙商店购买更省钱； 当购买金额按原价等于6000元时，到甲、乙两家商店购买 钱数一样. 1.解：由平均数的计算公式可得(1+2+x+5)÷4=3,解得x=4.答：轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相 距120千米. y=÷[(-3)2+(2-3)3+(4-3)3+(5-3)]=2, (2)∵轿车出发后2小时追上大巴，此时，两车与学校相 距120千米， ∴大巴行驶了3小时， ∴a=6,b=9或a=-6,b=-3. 4.解：(1)l2 30 20 故x=4,y=言4.C 5.-2 6.2°1-2 7.(2°-',2*-1) 专项训练十二 利用一次函数解决实际问题 (2)设甲出发xh两人恰好相距5km.由题意，得 30x+20(x-0.5)+5=60 2.解：(1)平均数为×(55+60+70+65+50+240+370)∴ B(3,120). 1.解：(1)由题意，得 ?14m+(20-14)n=49, {14m+(18-14)n=42, 或30x+20(x-0.5)-5=60,解得x=1.3或1.5. 由图象得A(1,0), =130;中位数为65 min.答：甲出发1.3h或1.5h两人恰好相距5km.设AB所在直线的解析式为s=kt+b(k≠0), {44is由题意得. 解得{ (2)选择中位数更好.因为周六和周日的娱乐时间很长，可 作为异常值，平均数受此影响较大，所以选中位数.5.解：(1)从小刚家到该景区乘车一共用了4 h.[m=2,解得{ (2)设线段AB对应的函数关系式为y=kx+b(k≠0). (3)可以用中位数表示本学期小明在家娱乐的一般时间. 因为这一周是随机抽取的，可以认为具有一定的代表性， 所以中位数可以用来估计整个学期的娱乐时间的平均水 平，当然若要更好地作出估计，样本容量可以更大些. {n=3.5. 把点A(1,80),B(3,320)代入，得 答：每吨水的政府补贴优惠价为2元，市场价为3.5元. ?k+b=80, (2)当O≤x≤14时，y=2x; {3k+b=320, ∴y=120x-40(1≤x≤3). ∴AB所在直线的解析式为s=60t-60. 当x>14时，y=14×2+(x-14)×3.5=3.5x-21. ?2x(O≤x≤14), 综上所述，y= 3.解：(1)甲成绩的中位数是90,乙成绩的中位数是93.3.(3)依题意得40(a+1.5)=60×1.5,解得a=- (3)当x=2.5时，y=120×2.5-40=260, 380-260=120(km). (2)甲：90×高+03×高+89×后+90×品=90.7(分)。 乙：94×5+92×+94×元+86×6=91.8(分)。 答：甲的数学综合素质成绩为90.7分，乙的数学综合素质 {3.5x-21(x>14). 专项训练十一 一次函数的图象与几何图形的综合题 (3)∵26>14,∴小明家5月份水费为 故小刚一家出发2.5h后离目的地 120 km.1.解：(1)令)=0,则-24+3=0,解得茎 3.5×26-21 =70(元):答：小明家5月份应交水费70元. 6.①②④ 令x=0,则y=3, 7.解：(1)暂停排水需要的时间为2-1.5=0.5(h). 2.解：(1)当O≤x≤20时，设y与x之间的函数关系式为y= 成绩为91.8分. 二点A的坐标为(是.0), ∵排水时间为3.5-0.5=3(h),一共排水900m3, ∴排水孔的排水速度是900÷3=300(m3/h). ,点B的坐标为(0,3). ax(a≠0), 4.解：(1)172 170 把(20,160)代入y=ax中，得a=8, (2)E= (2)由(1)得点A(乏.0), ∴0A=冬⋯0P=20A=3, (2)当2≤t≤3.5时，设Q关于t的函数解析式为 Q=kt+b(k≠0), 即y与x之间的函数关系式为y=8x; 165×3+166×2+169×6+170×7+172×8+174×4 当20<x≤45时，设y与x之间的函数关系式为y=kx+b 30 易知图象过点(3.5,0).(k≠0), =170.1(cm). 把(20,160),(40,288)代入y=kx+b中，得 ∵当t=1.5时，排水300×1.5=450(m3), 此时Q=900-450=450, 由表可知，身高大于平均身高的队员共有12人，占全队的 百分比是×100?0?? ∴点P的坐标为(3,0)或(-3,0), :AP=OP-OA=言或AP=0P+OA=号， ∴S=÷AP·OB=÷×乏×3=4 或SAp=÷AP·OB=×9×3=27 综上所述，△ABP的面积为或 ?20k+b=160, {二2解得.{40k+b=288, ∴点(2,450)在直线Q=kt+b上. 5.解：(1)9.5 10把(2,450),(3.5,0)代入Q=kt+b,即y与x之间的函数关系式为y=6.4x+32. 综上所述，y与x之间的函数关系式为 [2h+b=450,得{ 解得{ (2)元=10×(10×4+8×2+7+9×3)=9(分), =10×[4×(10-9)2+2×(8-9)2+(7-9)2+3×(9 [8x(O≤x≤20), {3.5k+b=0, y={6.4x+32(20<x≤45). ∴当2≤t≤3.5时， (2)∵B种树苗的数量不超过35棵，但不少于A种树苗的 Q关于t的函数解析式为Q=-300t+1050. -9)2]=1. 数量 *.1y=2) (3)∵角=1.4,2=1,角>2,2.解：(1)把点A(-2,0)代入y=2x+m,得-4+m=0, [x≤35. ∴若想从两队中选一个成绩较为稳定的队参加比赛，应选∴:. :22.5≤x≤35. 解得m=4,∴y=2x+4. \x≥45-x, (2)经销商购进甲种水果x千克，则购进乙种水 乙队参赛. 数学·八年级下册 —30—