精品解析：上海市敬业中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

敬业中学2023 学年高二年级第二学期期中考试数学试卷 2024年4月 (满分150分， 考试时间120分钟) 考生注意： 1．答卷前，考生务必将姓名、班级、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 2．本试卷共21道试题，请考生用黑色水笔在答题卷的相应位置作答，写在试卷上的解答一律无效． 一、填空题 (本大题共有12题， 满分54分， 第1~6题每题4分， 第7~12题每题5分) 1. 椭圆的长轴长为_______. 2. 抛物线的焦点坐标是______. 3. 已知双曲线过点，它的一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为__________ 4. 若椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点则该椭圆的标准方程为_________． 5. 在 的展开式中，系数为有理数的项共有___项． 6. 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有____种.（用数字作答） 7. 一个高为1的正三棱锥的底面正三角形的边长为6，则此三棱锥的侧面积为______． 8. 已知直线，，，若它们不能围成三角形，则实数的取值所构成的集合为________． 9. 如图，在直三棱柱中，，，若与平面所成的角为，则四棱锥的体积__________． 10. 已知、分别是双曲线：左右焦点，过的直线l与双曲线左右两支分别交于P、Q两点，且，则__________. 11. 已知点为曲线上任意一点，则 的取值范围为__________． 12. 若曲线 与曲线 恰有两个不同的交点，则实数的取值范围为__________ 二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分) 13. 已知直线的斜率为，则直线的法向量为（ ） A. B. C. D. 14. 设点、均在双曲线上运动，、是双曲线的左、右焦点，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 以上都不对 15. 若抛物线上不同三点的横坐标的平方成等差数列，那么这三点（ ） A. 到原点的距离成等差数列 B. 到轴的距离成等差数列 C. 到轴的距离成等差数列 D. 到焦点的距离的平方成等差数列 16. 已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上.在中，若，则的最大值为（ ） A B. C. D. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分) 17. 已知圆，直线. （1）当何值时，直线与圆相切； （2）当直线与圆相交于两点，且时，求直线的方程. 18. 两人下棋，每局均无和棋且获胜的概率为，某一天这两个人要进行一场五局三胜的比赛，胜者赢得2700元奖金， （1）分别求以获胜、以获胜的概率； （2）若前两局双方战成，后因其他要事而终止比赛，间，怎么分奖金才公平？ 19. 四棱锥中，平面，底面是正方形，，点是棱上一点． （1）求证: 平面平面； （2）当为中点时， 求二面角的正弦值． 20. 已知椭圆经过点，，是椭圆的两个焦点，，是椭圆上的一个动点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若点在第一象限，且，求点的横坐标的取值范围； （3）是否存在过定点的直线与椭圆交于不同的两点，，使为直角三角形(其中为坐标原点)？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由. 21. 已知曲线T上任意一点到两定点的距离之和为，直线l交曲线T于A、B两点，为坐标原点. （1）求曲线的方程； （2）若不过点且不平行于坐标轴，记线段AB的中点为M，求证：直线的斜率与l的斜率的乘积为定值； （3）若OAOB，求△面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 敬业中学2023 学年高二年级第二学期期中考试数学试卷 2024年4月 (满分150分， 考试时间120分钟) 考生注意： 1．答卷前，考生务必将姓名、班级、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 2．本试卷共21道试题，请考生用黑色水笔在答题卷的相应位置作答，写在试卷上的解答一律无效． 一、填空题 (本大题共有12题， 满分54分， 第1~6题每题4分， 第7~12题每题5分) 1. 椭圆的长轴长为_______. 【答案】6 【解析】 【分析】由椭圆的标准方程中对应的几何意义即可得解 【详解】由题,,即,所以长轴长为, 故答案为: 【点睛】本题考查椭圆标准方程的应用,考查椭圆的几何性质 2. 抛物线的焦点坐标是______. 【答案】 【解析】 【分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标. 【详解】因为抛物线方程，焦点坐标为，且， 所以焦点坐标为， 故答案为：. 3. 已知双曲线过点，它的一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为__________ 【答案】 【解析】 【分析】设所求双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出实