解斜三角形的应用讲义-2023-2024学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第二册

高一学习资料-三角（函数） 主题：06解斜三角形的应用 教学目标 1.进一步熟悉正、余弦定理内容，能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化； 2.能够利用正、余弦定理判断三角形的形状，及证明三角形中的三角恒等式； 3.会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系，理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等； 4.通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力． 我爱数学，学习使我快乐 海伦公式又被大家称为希伦公式，传说是在古代的叙拉古国，那里的国王希伦二世发明的公式，海伦公式就是可以利用三角形的三边的长度来求取三角形的总面积。但是，在1908年的时候，海伦公式被证实是阿基米德发现的，只是以希伦二世的名字来发表。 海伦公式： 这其中，是三角形的三边的长度 1、 实际应用问题 （一）知识精讲 1. 解三角形 一个步骤 解三角形应用题的一般步骤： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 两种情形 解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 2.相关知识点 解 三 角 形 正弦 定理 定理 ＝＝ 射影定理： a＝bcos C＋ccos B b＝acos C＋ccos A c＝acos B＋bcos A 变形 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2RsinC (R为△ABC的外接圆的半径) 类型 三角形两边和一边对角、三角形两角与一边 余弦 定理 定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 cos A＝＝－1等 类型 两边及一角(一角为两边夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程)、三边 面积 公式 基本 公式 S＝a·ha＝b·hb＝c·hc＝absin C＝bcsin A＝acsin B 导出 公式 S＝(R为△ABC的外接圆的半径)； S＝(a＋b＋c)r(r为△ABC的内切圆的半径) 实际 应用 基本 思想 把要求解的量归入到可解三角形中．在实际问题中，往往涉及多个三角形，要根据已知逐次把求解目标归入到一个可解三角形中 常用 术语 仰角 视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角 俯角 视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角 方向角 方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般是锐角，如北偏西30°) 方位角 某点的正北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角 3.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等． （一）测量距离问题 1.如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为(　　) A．50 m B．50 m C．25 m D. m 2.如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长． 3.如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试求B，D的距离． 3.如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC．小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路，且拐弯处的转角为．已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）． - 举一反三 – 1.如图，旅客从某旅游区的景点处下山至处有