6.3.1正弦定理、余弦定理、三角形面积公式讲义-2023-2024学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第二册

高一学习资料-三角（函数） 主题：05正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 教学目标 1.会运用三角形面积公式、正弦定理、余弦定理等三角知识解斜三角形； 2.会运用正弦定理、余弦定理及三角变换公式判断三角形形状； 3.运用三角形内角和定理，正余弦定理等知识解斜三角形；  4.利用解斜三角形知识解决一些实际问题. 我爱数学，学习使我快乐 知识点一、三角形面积公式与正弦定理 三角形的面积公式： (1) ＝＝；(2) ＝；(3) ． 正弦定理： (1) 中：(为的外接圆的半径) 证明一：（三角形面积法）＝＝ 两边同时除以，得到 证明二：（外接圆法） 如图所示，∴同理 ， (2) 推论：正余弦定理的边角互换功能 ① ，，； ② ，，； ③ ＝＝； ④ ． 补充： ①由（其中为三角形外接圆半径）， 可知，， 所以面积公式又可以变形为： ②有正弦定理得：，代入面积公式 可得，同理可得 1.在中，若，则_____________ 2.在中，，，，则 ， ； 3.（1）在中，若，则c= ； （2）在中，若，则A= . 4. 在中，已知，，，则 . 5. 在中，已知，，，求的面积. 6.在中，若，，，则__________. 7.在中，“”是“是等腰三角形”的（ ）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 - 举一反三 – 1.在△ABC中，若＝，则B的值为(　　)． A．30° B．45° C．60° D．90° 2.已知中，，则____________． 3.在中，已知，，，求的面积. 4.在中，分别是三个内角的对边，若， ，，求的面积。 5.在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A. (I)求cosA的值， (II)求c的值. 6.如图，已知是边长为1的正三角形，M，N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过的中心G，设=（）. （1）试将的面积（分别记为）表示为的函数； （2）求的最大值与最小值. 知识点二、余弦定理 1.余弦定理： 证明一：以点为原点，为轴建立直角坐标系，则， 由两点间距离公式得： 两边平方得 即 证明二：如图，在△中，过点作，垂足为． 则在△中，. 则在△中，， 由， 得， 即． 2． 推论：如果的对边是，则有：是锐角； 是钝角； 是直角． 1.在中，若，则________． 2.在三角形中，角，，所对的边分别为，其中，，，则边的长为______． 3.已知的三边长分别为且面积，则等于（ ） A． B． C． D． 4.在中，若则= 。 5.在中，，则B= 。 6.为钝角三角形三边，钝角为，则= 。 7.已知钝角三角形的边长分别为，则a的取值范围是________。 8.在中，若，则= 。 9.中，已知三角形面积为，则= 。 10.已知锐角三角形的边长分别为1，3，a,则a的取值范围是________ 11.已知三边分别为，求的最大角 - 举一反三 – 1.在中，若，则的大小是_______. 2.已知△ABC三边满足，则此三角形的最大内角为________． 3.在中，分别是角所对的边，且是方程的两个根，，则 ______. 4.在中，若，，，则的面积是___________. 5.下列命题中，不正确的是 （ ） （A）若a、b、c是三角形三边，且，则C是锐角 （B）在中，若则 （C）在中，若一定是直角三角形 （D）任何三角形的三边之比不可能是1:2:3 6.在中，边满足，，则边的最小值为___________． 7.在△中，角，，的对边分别是，，，且. （1）求角的大小； （2）若，，求和的值. 知识点三：正弦定理、余弦定理的基本应用 1、解三角形的一般规律： (1)必须知道三个几何元素，至少一个为边，对于不知道的边或角可以放到其它三角形中去解； (2)如果出现多解，注意用三角形内角和定理且边角不等关系定理检验。 2、求三角形解的个数问题： (1)已知两角与一边,由及，可求出角，再求、. (2)已知两边、与其夹角，由，求出，再由余弦定理，求出角. (3)已知三边、、