两角和与差的正弦余弦正切公式、辅助角公式讲义-2023-2024学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第二册

高一学习资料-三角（函数） 主题：03两角和与差的正弦余弦正切公式、辅助角公式 教学目标 1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式； 2.掌握辅助角公式的运算； 3.利用和差角公式与辅助角公式来做三角式的求值、化简与证明. 我爱数学，学习使我快乐 知识点一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1.两角和差的余弦公式： 【注】 (1)公式中的都是任意角； (2)和差角的余弦公式不能按分配律展开，即； (3)公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题. 如：由能迅速地想到 ； (4)第一章所学的部分诱导公式可通过本节公式验证； (5)记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反. 2.两角和差的正弦公式： 【注】 (1)公式中的都是任意角； (2)与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即； (3)和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例. 如 当或中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便； (4)使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简时，不要将和展开，而应采用整体思想，进行如下变形： 这也体现了数学中的整体原则. (5)记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的等号右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的等号右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相同. 3.两角和差的正切公式： 【注】 (1)公式成立的条件是：或，其中； (2)公式的变形：, (3)两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题.所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了. (4)公式对分配律不成立，即. 【注】三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视。常见的角的变换有： ；；等， 常见的三角变换有：切化弦、等。 1. 求值：_________；__________. 2.设，且，则_________. 3.求的值. 4.______．________． 5. 已知，则________. 6.已知，，且，求的值. 7. 已知，，，，求． 8.已知，，则___________. 9.已知，则 . 10. 已知，，且，求以及的值. 11.已知、为锐角，且，求． 12.已知，，，，求的值. - 举一反三 – 1. 求值：__________. 2. 命题，命题，则P是Q的（　 　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3.（1）已知，则_______． （2）已知，则的值为______． 4.已知，都是锐角，，，求的值. 5.已知锐角满足，求. 6.已知，求的值． 7.已知，求的值． 8.在中，已知，则的值为______． 9.已知， ，且，，求的值. 10.已知，且，求的值． 11.设，则______． 12.已知，求的值． 13.已知，则的值为______． 知识点二、辅助角公式 1.形如的三角式的变形： = 令， 则== （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和 共同确定） 2.辅助角公式在解题时候的应用： 通过应用公式=（或=），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）。这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等。 1.（1）将化为的形式是______________． （2）将化为的形式是_______________． （3）将化为的形式是_________________． 2.化简： 3.下列关系式中，角存在的是（ ） A． B． C． D． 4.若，则__________. 5.已知，__________. 6.的最大值为_______． 7.若，且，则 ． 8.使方程有解的k的取值范围是___________________． 9.设，且，满足 （1）求的值：（2）求的值： - 举一反三 – 1.将化为的形式____________. 2.化为的形式是______． 3.要使有意义，则实数的取值范围是________. 4.已知，求m的取值范围． 5.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下: 下列判断错误的是（ ） A.当时，辅助角 B.当时，辅助角 C.当时，辅助角 D当时，辅助角 1．计算_______；________． 2．化简（1）_____； （2）_______； （3）______