7.1.2 复数的几何意义教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.1.2 复数的几何意义教学设计 一、教材分析 本节的主要内容是复平面，复数与点的对应关系，复数与向量的对应关系，复数的模，共轭复数等知识，通过平面直角坐标系点的坐标与向量的表示引出复平面与复数的几何意义。本节的内容比较基础，在考试中经常作为题目的一部分与其他知识一起考查。其中复数的几何意义与复数的模等内容是考查的热点。 2、 学情分析 在初中，学生学习了平面直角坐标系与绝对值的概念，前面又学习了向量的概念与表示，对于数与形已经有了认识，相信再学习复平面与复数的几何意义，学生会很快地进入状态。在具体的学习过程中学生可能会在以下两方面感觉有困难：一是对复数与点的坐标的一一对应关系的理解；二是对复数与向量的一一对应关系的理解。 3、 学情与目标 1.了解复数与复平面内的点一一对应，复数与平面向量一一对应； 2.理解复数模的概念，能利用数形结合的思想解决复数模的问题； 3.能在复平面内利用向量的方法解决复数的运算、性质以及应用等问题。 四、学科素养 1.通过了解复数的几何意义，并能用复数的概念和几何意义解决相关问题的过程，发展学生的数学抽象和直观想象素养； 2.通过学习理解复数与复平面内的点一一对应，复数与平面向量一一对应的过程，发展学生的逻辑推理素养； 3.掌握复数模的计算公式，理解共轭复数的概念，发展学生的数学运算素养。 五、教学重难点 重点：复数的几何意义，复数模的计算 难点：复数的向量表示 6、 教学方法 讲授法、提问法、讨论法 七、教学过程 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 复习引入 上一节我们学习了复数的概念，请同学们回忆以下内容： 1.复数的概念。 2.虚数单位。 3.复数与实数的区别和联系。 教师提出问题。 学生思考。 教师引入新课。 巩固旧知，让学生把注意力集中到课堂上来，引起学生的学习兴趣。 概念形成 1.复数与实数对之间的对应关系 复数z=a+bi⇔有序实数对(a,b)⇔点Z(a,b)。 2.复平面及结构 复平面内x轴叫实轴，y轴叫虚轴。 3.复数与平面向量之间的对应关系。 复数z=a+bi⇔平面向量 4.复数的模。 向量的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|,即 |z|=|a+bi|= ,其中a,b∈R。 如果b=0,那么z=a+bi是一个实数a，它的模就等于|a|(a的绝对值)。 5.共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。复数z的共轭复数用表示，即如果z=a+bi,那么=a-bi。 教师引导学生思考探索具体概念。 学生阅读教材，对应坐标平面分析复平面的结构情况。 师生共同分析。 复数与复平面上的点有何关系，以及不同复数特征所对应的具体图形。 学生自学复数的模和共轭复数的概念。 培养学生热爱知识，喜欢探索的学习习惯。 概念深化 1.复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的。 2.这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径。 3.应注意，复数z=a+bi用复平面内的点Z(a,b)表示时，复平面内的点Z的坐标是(a,b),而不是(a,bi)。 4.根据复数与复平面内的点一一对应，复数与平面向量一一对应，可知复数z=a+bi、复平面内的点Z(a,b)和平面向量之间的关系可用如图表示。 5.计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算。 6.若z1，z2是共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点关于x轴对称。 教师引导学生进一步阅读教材。 启发学生在复平面内画出复数z=a+bi所对应的点以及向量，观察它们之间的关系。 学生小组讨论，合作，展示。 教师总结补充。 教师提问学生：复数模的计算公式、共轭复数的概念。学生思考回答展示。 学生初步接触复数及其几何意义，会造成认识上的空白，而这些内 容正是为填补这些空白而预设的。这样安排，有利于学生 循序渐进地从多方位认识复数的几何意义、理解复数模的概念、掌握共轭 复数的定义，符合学生的认知规律。 应用举例 例1 说出如图中复平面内各点所表示的复数(每个小正方格的边长为1)。 解:由于点 A 的坐标为(0,1),故点A对应的复数是i； 由于点 B 的坐标为(3,2),故点B对应的复数是3+2i; 由于点 C 的坐标为(-2,0),故点C对应的复数是-2； 由于点 D 的坐标为(1,-2),故点D对应的复数是1-2i; 由于点 E 的坐标为(-2,1),故点E对应的复数是-2+i; 由于点O 的坐标为(0,0),故点O对应的复数是0。 例2 求下列复数的模： (1)i; (2)-2i; (3) -i 解：(1)|i|=1 (2) |-2i|=2 (3) | -i|==1 例3 设 z∈C,满足条件2<|z|<3 的点 Z 的集合表示的是什么图形? 满足条件2<|z|<3 的点Z的集合是以原点为圆心，分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环(不包括圆环的边界)，如图所示。 教师提问：如何根据点的位置写出复数的坐标以及点所表示的复数呢? 学生讨论思考。 学生独立完成。 教师点评：如果 Z 是复平面内表示复数z=a+bi(a,b∈R)的点，则 (1)当a>0,b>0时,点Z位于第一象限;当a<0,b>0时,点Z位于第二象限;当a<0,b<0时,点Z位于第三象限;当a>0,b<0时，点Z位于第四象限。 (2)当a=0时,点Z在虚轴上;当b=0时,点Z在实轴上。 学生思考讨论，两学生黑板板书。 学生独立完成。 师：复数 z 在复平面内对应的点为Z，r表示一个大于0的常数，则满足条件|z|=r的点 Z 的轨迹为以原点为圆心，r为半径的圆，|z|<r表示圆的内部，|z|>r表示圆的外部。 提出问题，引导学生解决问题，通过例题加深对复数几何意义的理解。 通过板演找出学生存在的问题和蕴含的思想方法。 巩固训练 教材第73 页练习第1-3题 先让学生独思考、逐个回答，再请其他学生评价，最后教师讲解、点评。 培养解题能力，巩固所学知识。 归纳小结 1.复数的几何意义 2.复数的模 3.共轭复数 学生思考回答，其他同学补充。教师提升。 培养学生自觉回顾、善于总结的习惯。 作业设计 必做题：教材第73-74页习题7.1第 4,5,8题 选做题：第11题 学生练习，分层训练。 巩固本节所学内容，为下节课做好铺垫。 八、板书设计 7.1.2 复数的几何意义 一、复习引入 二、概念形成 1.复平面 2.复数的模 向量的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|,[即|z|=|a+bi|=,其中a,b∈R 3.共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数 三、概念深化 1.复数与复平面内的点一一对应，复数与复平面内所有以原点 O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的。 2.复数z=a+bi用复平面内的点Z(a,b)表示 3.复数的模的计算方法 4.若z1，z2是共轭复数,那么在复平面内它们所对应的点关于x轴对称 四、应用举例 例 1 例2 例 3 五、巩固训练 六、归纳小结 七、布置作业 九、 课后反思 1. 教学过程中要多举一些关于复数的模的例子，引导学生对其表示的图形进行区分，进一步激发求知欲望； 2. 关于共轭复数的性质可以适当补充，引导学生探究。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$