《第1讲 基础数轴动点问题》讲义2023-2024学年人教版数学七年级上册

人教版·七年级上册数学讲义 第1讲 基础数轴动点问题 理论基础 知识导航 1、数轴 数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 可以用数轴上的点表示数． 数轴上点的移动： 若点向右移动a个单位长度，则该点对应的数增加a； 若点向左移动a个单位长度，则该点对应的数减少a． 2、数轴上表示距离 求数轴上两点之间的距离： 如果知道这两点对应的数的大小关系，则可以用“大减小”来表示距离； 如果不确定这两点对应的数的大小关系，则两数相减再取绝对值来表示距离． 例如，数轴上A、B两点分别对应数a、b： 若已知，则A、B两点的距离为； 若a、b的大小关系不确定，则A、B两点的距离为（或），即A、B两点间的距离可表示为． 3、绝对值几何意义 绝对值的定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 根据绝对值的几何意义，我们可以将化作，理解为数轴上a与0之间的距离；可以看成，理解为数轴上a与-5之间的距离．那么，我们可以将理解为数轴上对应的数a与b之间的距离． 例题1 在数轴上，点A表示-3，从点A出发，沿数轴向右移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数为_____，从点B再向左移动10个单位长度到达点C，则点C表示的数为_____． 点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、3、-4，那么A到B的距离为_____，A到C的距离为_____（用含绝对值的式子表示）． 练习1 请回答下列问题： （1）的几何意义是数轴上表示_____的点与表示_____的点之间的距离． （2）的几何意义是数轴上表示_____的点与表示_____的点之间的距离是_____． （3）的几何意义是表示_____的点与表示_____的点之间的距离，且． （4）的几何意义是表示_____的点与表示_____的点之间的距离． 动点的表示与距离公式 知识导航 1、数轴上动点的表示 点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，这样我们只需要在起点对应的数的基础上加上或减去运动路程即可得到运动后点的坐标． ①一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为；向右运动b个单位后表示的数为； ②一个点表示的数为a，当它以速度在数轴上移动时，向左运动t秒后表示的数为；向右运动t秒后表示的数为． 2、数轴上动点之间距离的表示 在表示完各动点的表达式后： 若两动点的左右关系很明确，直接“大减小”可得二者的距离表达式； 若两动点的左右关系还不明确，可以直接用绝对值来表示距离，避免分类讨论． 3、中点公式： 若A、B、C三点表示的数分别是a、b、c，C是线段AB的中点，则．比方说我们已知数轴上A点对应的数为5，B点对应的数为-7，那么它们的中点C所对应的数为__________． 中点公式不仅适用于定点，也适用于动点．例如，动点A、B对应的数表达式分别为、，则线段AB的中点M一般也是动点，对应的数为． 刻意练习 点A从数5出发，沿着数轴正方向以2个单位长度/秒的速度运动，点B从数13出发，沿着数轴负方向以6个单位长度/秒的速度运动，若设时间为t，则动点A对应的数为_____，动点B对应的数为_____，A、B间的距离为_____，A、B的中点C对应的数为_____，线段AB的三等分点M对应的数为_____． 已知有两动点在数轴上运动，动点P从数轴上表示数-3的点向右运动，动点Q从数轴上表示数5的点向左运动，已知P点速度是Q点速度的二倍，设Q的速度为v，10秒后，P、Q间的距离为_____，P、Q的中点为_____（用含v的式子表示）． 例题2 已知：b是最小的正整数，且a，b，c满足，请回答问题． （1）请直接写出a，b，c的值． a=_____；b=_____；c=_____． （2） 点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假钟t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由，若不变，请求其值． 点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足：． 若P点是B点右侧一点，PA的中点为M，N为PB的三等分点且靠近于P点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①的值不交；②的值不变，其中只有一个结论正确，请判断出正确的结论，并求出其值． 例题3 已知：数轴上O为原点，点A，B对应的数分别是x，y，且，点P为数轴上从原点出发的一个动点，点P的速度为15单位长度/秒． （1）求点A，B两点之间的距离； （2）若点A，B，P三个点都向右运动，点A的速度为5单位长度秒，点B的速度为10单位长度/秒，点M、N分别是AP、OB的中点，设运动的时间为，在运动过程中，结论①的值不变，结论②的值不变．以上