2024年九年级中考数学压轴专题复习讲义-10几何综合压轴之其他类型（二模）　

25题专题复习讲义 主题：10几何综合压轴之其他类型专题（二模） 我爱数学，学习使我快乐 【例1】【2021黄浦二模】如图9，AD是△ABC的角平分线，过点C作AD的垂线交边AB于点E，垂足为点O,联结DE. （1）求证：DE=DC； （2）当∠ACB=90°，且△BDE与△ABC的面积比为1∶3时，求CE∶AD的值； （3）是否存在△ABC能使CE为△ABC边AB上的中线，且CE=AD？如果能，请用∠CAB的某个三角比的值来表示它此时的大小；如果不能，请说明理由. （备用图） （图9） C B A E D C B A O 【答案】（1）∵AD是角平分线，∴∠CAO=∠EAO. 又∵CE⊥AD，∴∠COA=∠EOA=90°. 又AO=AO，∴△AOC≌△AOE. -------------------------------------------（2分）∴AC=AE. 在△ACD与△AED中，∵AC=AE，∠CAD=∠OAD，AD=AD， ∴△ACD≌△AED，-------------------------------------------（1分）∴DE=DC. --------（1分） （2）由△BDE与△ABC的面积为1∶3，又△ACD≌△AED， 得△BDE、△ACD与△AED的面积均相等. 于是有BE=AE=AC，又∠ACB=90°，------------------------------（2分） 所以∠ABC=30°，∠BAC=60°， 则△ACE为等边三角形，即CE=AC. 于是在△ACD中，∠ACD=90°，∠CAD==30°，----------（2分） 所以，即.--------------------------------（1分） （3）存在这样的三角形. -------------------------------------------（1分） 作EF∥AD交BC于点F. ---------------------------------------（1分） 则，，又AD=CE， 令AD=CE=8k，则OE=OC=4k，OD=2k，OA=6k. --------------------（1分） 在△AOC中，，则. 作CH⊥AE于点H，易知△CEH∽△ACO， 得，， 所以，---------------------（1分） 于是在Rt△ACH中，.------------------（1分） 【例2】【2021金山二模】已知在中，，，的顶点在边上，交于点（点在点的右侧），. （1） 求证：∽. （2） 若. ①联结，当点是的黄金分割点（）时，求. ②联结，当时，求的长. A F E D C B 第25题图 A B C 第25题图备用图 A B C 第25题图备用图 【答案】（1）证明：∵，∴；…………………………………（1分） ∵，，∴；A B C E F D ∵，∴；…………………（1分） ∵，； ∴；…………………（1分） ∵；∴∽.……（1分） （2） ①解：∵∽，∴，即； ∵，∴，∴； 又∵，∴∽;………………（1分） ∴，即；∴，即； ∴，又∵； ∴∽；（1分）∴； ∵点是的黄金分割点，且； ∴，∴.………………（1分） ②解：作垂足为，∵，； ∴，，得；………（1分） ∵∽，∴，即； 设，那么；∵，∴；A B C D F E 可得，解得即或； 当时即为中点，∵； ∴，又∵，∴即垂直平分 ∴；当时，为中点，∵， ，；∴，，； 作垂足为，∴，B A C D F E ∵，∴； ∴在中.………………（2分） 综上所述，当时，或. 【例3】【2021徐汇二模】如图，已知，且，，点是线段上的动点，点是射线上的动点，且，以线段为边在的上方作正方形，以线段为边在上方作正三角形． （1）如图1，当点在射线上时，求的值； （2）如果⊙经过、两点，求正三角形的边长； （3）如果点在的边上，求的长． （25题图） （25题图1） （25题备用图） 【答案】（1）∵四边形是正方形．∴； 又点在射线上，∴； 在中，；解得． （2）∵⊙经过、两点，∴； 又四边形是正方形，是正三角形，∴，； 又，∴ ； 过点作，垂足为点，∴，即； 又；∴；解得；即． ∴正三角形的边长是． （3）∵点在的边上，∴分两种情况： 当点在边上时，可得； 过点作，垂足为，作的垂直平分线交于点， 联结．可得，； 又，∴； 解得；即； 当点在边上时，过点作，垂足为． 可得；∴；而， ∴；即点在的延长线上，不合题意；∴这样的不存在；