2024年九年级中考数学压轴专题复习讲义-08几何综合压轴之旋转翻折类专题-T　

25题专题复习讲义 主题：08几何综合压轴之旋转翻折类专题 我爱数学，学习使我快乐 题型一：半角模型 【例1】【2021年黄浦25】如图10，四边形ABCD中，AB=AD=4，CB=CD=3，∠ABC=∠ADC=90°，点M、N是边AB、AD上的动点，且∠MCN=∠BCD，CM、CN与对角线BD分别交于点P、Q. （1）求sin∠MCN的值； （2）当DN=DC时，求∠CNM的度数； （3）试问：在点M、N的运动过程中，线段比的值是否发生变化？如不变，请求出这个值；如变化，请至少给出两个可能的值，并说明点N相应的位置. P N M D C B A Q （图10） 【答案】（1）联结AC，由AB=AD，CB=CD，AC=AC，得△ABC≌△ADC， 即∠ACB=∠ACD=∠BCD=∠MCN.于是在△ABC中，∠ABC=90°，， 则sin∠ACB，即sin∠MCN. （2）在△CDN中，∠CDN=90°，DN=DC，可得∠DNC=∠DCN=45°. 作∠BCS=∠NCD交边AB的延长线于点S.又CB=CD，∠CBS=∠CDN=90°，得△CBS≌△CDN. 得CS=CN，∠CSB=∠CND.于是∠MCS=∠MCB+∠BCS=∠MCB+∠DCN=∠BCD=∠MCN， 又CM=CM，所以△MCS≌△MCN，得∠CNM=∠MSC=∠CND=45°. （3）不变.易知∠ADB=∠ACD=∠MCN，由（2）知∠CNM=∠CND， 得∠CMN=∠DQN=CQP，又∠MCN=∠PCQ，得△CNM∽△CPQ，则△CSM∽△CPQ. 设AC与BD的交点为H，易知CH⊥PQ，又CB⊥MS，所以. 在△BCH中，∠BHC=90°，sin∠HCB，易知cos∠HCB，即. 【例2】【2017黄浦二模25】已知：Rt△ABC斜边AB上点D、E，满足∠DCE=45°. （1）如图1，当AC=1，BC=，且点D与A重合时，求线段B E的长； （2）如图2，当△ABC是等腰直角三角形时，求证：AD2+BE2=DE2； （3）如图3，当AC=3，BC=4时，设AD=x，BE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域. （D） E C B A A D E C B （图1） （图2）A D E C B F C B A D E （图3） 【答案】解：（1）过点E作EH⊥BC于H.———————————————————（1分） ∵∠ACB=90°，∠ACE=45°，∴∠BCE=45°.又AC=1，BC=，∴.————（1分）C B A D E T Q P 在△CEH中，∠CHE=90°，∠HCE=45°，令CH=EH=x， 则在△BEH中，BH=，BE=2x. 于是，——（1分） ∴BE=.—————（1分） （2）∵△ABC为等腰直角三角形，∴CA=CB. 将△BCE绕点C旋转90°到△ACF处，联结DF.（如图）——————（1分） 则∠DCF=∠DCA+∠ACF=∠DCA+∠BCE=90°-45°=45°=∠DCE.——（1分） 又CE=CF，CD=CD. ∴△DCE≌△CDF，———————————————（1分）∴DE=DF. 于是在△ADF中，∠DAF=∠DAC+∠CAF=45°+45°=90°.————————————（1分） ∴， 即.—————————————————————（1分） （3）将△ACD绕点C旋转90°到△QCP处，点Q恰好在边BC上，联结PE，并延长PQ交边AB于点T.（如图）同（2），易证△ECD≌△ECP，得DE=EP. 又∠B+∠BQT=∠B+∠PQC=∠B+∠A=90°，∴∠BTQ=90°. 又BQ=BC-CQ=BC-AC=1. ———（1分） 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，则AB=5，，. 于是在△BTQ中，得，.————（1分） 所以在△PET中，∠PTE=90°，PE=DE=，TE=，PT=， 有，即，—（1分） 解得：————（2分） 【变式1】【2012浦东二模】（本题满分14分，第（1）、（2）小题各3分，第（3）、（4）小题各4分） 已知：正方形ABCD的边长为1，射线AE与射线BC交于点E，射线AF与射线CD交于点F，∠EAF=45°. （1）如图1，当点E在线段BC上时，试猜想线段EF、BE、DF有怎样的数量关系？并证明你的猜想. （2）设BE=x，DF=y，当点E在线段BC上运动时（不包括点B