2024年九年级中考数学压轴专题复习讲义-04二次函数背景下的直角专题-T

九年级专题复习讲义 主题：04二次函数背景下的直角专题 我爱数学，学习使我快乐 二次函数+直角解题策略： · 勾股（不涉及二次函数上的点时） · 相似（一线三直角，有点在二次函数图像上时） · 三角比 · 直角三角形的性质（斜边中线） 【例1】【2020普陀一模】在平面直角坐标系中（如图12），已知抛物线经过点，与轴交于点，抛物线的顶点为点，对称轴与轴交于点． （1） 求抛物线的表达式及点的坐标； （2） 点是轴正半轴上的一点，如果，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，点是位于轴左侧抛物线上的一点，如果△是以为直角边的直角三角形，求点的坐标．图12 O 1 1 【答案】（1）由抛物线经过点和点， 得 解得 （2分） ∴抛物线的表达式是． （1分） 点的坐标是． （1分） （2）联结交于点，过点作，为垂足． ∵，，∴． 由对称性可得 ． （1分） ∵，∴． 在Rt△中，． （1分） 在Rt△中，， ∵，∴．∴． （1分） ∵，∴．∴点的坐标是． （1分） （3）∵△是以为直角边的直角三角形， ∴或． 设点点的坐标为． ①当时，点只能在的下方． 过点作，为垂足．∴，． ∵，， ∴．∴． ∴．∴．（1分）解得，． ∵不合题意舍去，∴．∴点的坐标是． （1分） ②当时． 同理可得点的坐标是． （2分） 【例2】【2023杨浦二模】已知抛物线：与x轴相交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)把抛物线沿射线方向平移得到抛物线，此时点A、C分别平移到点D、E处，且都在直线上，设点F在抛物线 上，如果是以为底的等腰直角三角形，求点F的坐标； (3)在第（2）小题的条件下，设点M为线段上的一点，，交直线于点N，求的值． 【答案】（1）∵抛物线与x轴交于点A，与y轴交于点C， ∴ （2分） ∴ （1分） ∴. （1分） （2）∵点A，点C，∴OA=OC. ∴，，直线AC：. 据题意抛物线C1沿直线AC方向平移后，点E在直线AC上，∴设E（a，a+2）. （1分） ∵△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，∴.. ∴，∴EF//y轴. （1分） ∵点F在抛物线C1上，∴点F. ∴ （1分） 解得．∴点E ，点F . （1分） （3）令y=0，，∴.∴点B. 又∵点E ，点C ，∴EC=，BC=. （1分） ∵DF⊥AC，BC⊥AC，∴DF//BC.又DF=AC=BC，∴四边形DFBC是矩形. ∴DC//FB. 过E作EQ⊥BF，垂足为点Q. ∴EQ=BC=. （1分） ∵EN⊥EM，∴∠MEN=90°.又∵∠CEQ=90°，∴∠CEM=∠QEN. 又∵∠EQN=∠ECM=90°，∴△CEM∽△QEN. （1分） ∴. ∴. ∴. （1分） 【例3】【2022虹口二模】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，联结BC交抛物线的对称轴l于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）联结CD、BD，点P是射线DE上的一点，如果S△PDB＝S△CDB，求点P的坐标； （3）点M是线段BE上的一点，点N是对称轴l右侧抛物线上的一点，如果△EMN是以EM为腰的等腰直角三角形，求点M的坐标． 【答案】（1）∵抛物线经过点A(，0)和点B(6，0) ∴ …………………………（2分）解得 ∴抛物线的表达式为． ………………………………（2分） （2）易得：抛物线的顶点D(2，8)． …………………………………………（1分） 由B(6，0)、C(0，6)，得直线BC的表达式是． ∵抛物线的对称轴是直线，∴E(2，4)．……………………………（1分） 由C(0，6)、D(2，8)、B(6，0)得，． ………………………（1分） 设P(2，x)，则．∵，∴． ∴．∴点P的坐标为(2，2)． ………………………………………（1分） （3） 由△MEN是以EM为腰的等腰直角三角形， 1 当∠NEM=90°，EN=EM时， ∴对称轴l平分∠CEN,则点C（0，6）和点N关于直线x=2对称∴N(4，6)． 又∵NM平行于y轴，∴ 把代入直线BC:，得：y=2 ∴M(4，2)． ………………………………………（2分） 2 当∠EMN=90°，ME=MN时， 易得：EN平行于x轴，∴ 把代入抛物线的表达式得． 解得． ∴． 易得：M ．………………………………………………（2分） ∴点M的坐标为(4，2)或． 【例4】【2018青浦二模】如图9，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于点A（-1，0）和