2024年九年级中考数学压轴专题复习讲义-03二次函数背景下的角度专题（二）

一二模专题复习讲义 主题：03二次函数背景下的角度专题（二） 我爱数学，学习使我快乐 等角、特殊角问题分析思路 二次函数中出现的特殊角一般是45°和135°，常以一次函数的形式或者点坐标可以判断出来。 解题策略： · 注意题目中的特殊角45°和135°； · 灵活应用三角比、改邪（斜）归正； · 有时特殊角度可以转换为相似问题； · 45°与的结合（要通过线段证明）； · 对称轴∥y轴，注意内错角和同位角等. 题型二：特殊角专题 【例1】已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点A（，0）、B（3，0）、C（0，3），顶点为点D. （1） 求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2） 联结BD、CD，试判断△BCD与△AOC是否相似，并证明你的结论； （3）抛物线上是否存在点P，使得∠PAC=45°.如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由. 【例2】如图12，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和点B（2，0），与y轴交于点C． （1）求该抛物线的表达式及点C的坐标； （2）已知点P（1，m）与点Q都是抛物线上的点． ① 求的值； ② 如果∠QBP=45°，求点Q的坐标． 【例3】在平面直角坐标系xOy中（如图6），已知直线与y轴交于点A，抛物线的顶点为B. （1）若抛物线经过点A，求抛物线解析式； （2）将线段OB绕点B顺时针旋转，点O落在点C处，如果点C在抛物线上，求点C的坐标； （3）设抛物线的对称轴与直线交于点D，且点D位于轴上方，如果，求的值. 1 2 3 x 1 3 y O -1 -1 2 A （图6）   【例4】在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点，直线与轴交于点，与抛物线的对称轴直线交于点． （1）求抛物线的表达式及对称轴； （2）如果该抛物线平移后经过点，其顶点在原抛物线上，且点在直线的右侧，求点的坐标； （3）点在直线上，若，求点的坐标． 【变式1】已知抛物线C1：与x轴相交于点A（，0）和点B，与y轴交于点C（0，2）. （1）求抛物线C1的表达式； （2）把抛物线C1沿射线CA方向平移得到抛物线C2，此时点A、C分别平移到点D、E处，且都在直线AC上，设点F在抛物线C1上，如果△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，求点F的坐标； （3）在第（2）小题的条件下，设点M为线段BC上的一点，EN⊥EM，交直线BF于点N，求的值.-6 -5 -5 O x y 1 2 -3 -4 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -1 -2 -4 第24题图 3 题型三：倍角、和差角专题 【例1】如图9，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴正半轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，2），点C在该抛物线上且在第一象限. （1）求该抛物线的表达式； （2）将该抛物线向下平移m个单位，使得点C落在线段AB上的点D处，当AD=3BD时，求m的值； （3）联结BC，当时，求点C的坐标. B A O O x x y B A O O x x y 备用图 图9 【例2】已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点、，与轴交于点. （1）求抛物线的表达式； （2）点是抛物线上的点，且位于线段上方，联结. ①如果点的横坐标为，求的值； ②如果，求点的坐标． 1 y 1 x O 【例3】已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴是直线x＝1，顶点是点D． （1）求该抛物线的解析式和顶点D的坐标； （2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点E为x轴正半轴上的一点，当tan（∠PBO+∠PEO）＝时，求OE的长． 【变式1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线分别交于x轴、y轴上的B、C两点，设该抛物线与x轴的另一个交点为点A，顶点为点D，联结CD交x轴于点E． （1）求该抛物线的表达式及点D的坐标； （2）求∠DCB的正切值； （3）如果点F在y轴上，且∠FBC=∠DBA+∠DCB，求点F的坐标． O 1.如图，在平面直角坐标系中，直线沿着轴向上平移3个单位长度后，与轴交于点，与轴交于点，抛物线过点、且与的另一个交点为 （1）求直线及该抛物线的表达式； （2）设该抛物线的顶点为，求的面积； （3）如果点在上，且，求点的坐标. 2.已知开口向上的抛物线与y轴的交点为A，顶点为B，点A与点C关于对称轴对称，直线AB与OC交于点D． （1）求点C的坐标，并用含a的代数式表示点B的坐标； （2）当∠ABC=90°时，求抛物线的表达式； （3）当∠ABC =2∠BCD时，求OD的长．