2024年九年级中考数学压轴专题复习讲义-02二次函数背景下的角度专题（一）　

九年级专题复习讲义 主题：02二次函数背景下的角度专题（一） 我爱数学，学习使我快乐 二次函数背景下动点产生的角度专题 等角、特殊角问题分析思路 二次函数中出现的特殊角一般是45°和135°，常以一次函数的形式或者点坐标可以判断出来。 解题策略： · 注意题目中的特殊角45°和135°； · 灵活应用三角比、改邪（斜）归正； · 有时特殊角度可以转换为相似问题； · 45°与的结合（要通过线段证明）； · 对称轴∥y轴，注意内错角和同位角等. 题型一：等角专题（优先考虑等角正切值相等处理） 【例1】【2021年青浦】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A（-4，0）和点B（2，0），与y轴交于点C． （1）求该抛物线的表达式及点C的坐标； （2）如果点D的坐标为（-8，0），联结AC、DC，求∠ACD的正切值； （3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，当∠OCD=∠CAP时，求点P的坐标． 【答案】（1）将A（-4，0）、B（2，0）代入，得 解得： 所以，． 当x=0时，．∴点C的坐标为（0，-4） （2）过点A作AH⊥DC，垂足为点H． ∵D（-8，0）、C（0，-4），∴CD=． ∵，∴．∴． ∵AC=，∴CH=． ∴tan∠ACD=． （3）由题意可知，点P在第一象限．过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q． ∵A（-4，0）、C（0，-4），∴OA=OC．∴∠OAC=∠OCA． ∵∠OCD =∠OCA +∠ACD，∠CAP =∠CAO +∠BAP，∠OCD=∠CAP， ∴∠ACD=∠BAP．∴tan∠BAP =tan∠ACD=． 设PQ=a，则AQ=3a，OQ=3a-4．∴P（3a-4，a）． 将P（3a-4，a）代入，得． 解得，（舍）．∴P（，）． 【例2】【2021年松江】如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线经过点A（2,0）和B（-1,-1），与y轴交于点C. （1）求这个抛物线的表达式； （2）如果点P是抛物线位于第二象限上一点，PC交x轴于点D，. ①求P点坐标； ②点Q在x轴上，如果∠QCA=∠PCB ，求点Q的坐标. Q Q D P C y x O A B E D P C y x O A B 【答案】（1）∵抛物线经过点A（2，0），点B（-1，-1） ∴， 解得∴抛物线解析式为 （2）①过点P作PE⊥y轴，垂足为E ∵OD∥PE，∴∵C（0，-2），∴OC=2∵，∴ 当时，， 解得，（舍去）∴P（-2，） ②(ⅰ)当点Q在线段OA上时，∵B（-1，-1），∴∠BCO＝45° ∵OC=OA，∴∠OCA＝45°，∴∠BCO=∠OCA， ∵∠QCA=∠PCB，∴∠DCO=∠QCO，∴OD=OQ ∵，∴OD=，∴OQ=，∴Q（，0） (ⅱ)当点Q在OA的延长线上时 ∵∠OCD＝45°-∠PCB，∠DQC＝90°-∠OCQ= 90°–(45°+∠QCA) =45°-∠QCA 又∵∠QCA=∠PCB，∴∠OCD=∠DQC ∴tan∠OCD=tan∠DQC，∴ ∴OQ=，∴Q（，0） ∴Q（，0）或Q（，0）. 【例3】【2021年闵行】在平面直角坐标系xOy中，如果抛物线上存在一点A，使点A关于坐标原点O的对称点A′也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点A叫做这条抛物线的回归点． （1）已知点M在抛物线上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线是否为回归抛物线，并说明理由； （2）已知点C为回归抛物线的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式； （3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x轴交于点D．联结CO并延长，交该抛物线于点E．点F是射线CD上一点，如果∠CFE =∠DEC，求点F的坐标． x y O （第24题图） 【答案】（1）抛物线是回归抛物线． 理由如下，当时，将其代入中，得． ∴M（2，4）． ∴点M关于坐标原点O的对称点M＇的坐标为（-2，-4）． 当时，将其代入中，得． ∴M＇（-2，-4）在抛物线上．∴抛物线是回归抛物线． （2）由，得．∴顶点C的坐标为． ∴点C关于坐标原点O的对称点C＇的坐标为． 又∵顶点C为抛物线的回归点， ∴点C＇在抛物线上，即． ∴． ∴这条抛物线的表达式为． （3）由（2）中顶点C为抛物线的回归点，可知点E与点C′重合， 即点E的坐标为（-1，2）． ∵∠CFE =∠DEC，∠ECD =∠FCE，∴△CDE∽△CEF．∴． 又∵CD = 2，，∴ CF = 10．∴点F的坐标为（1，8）． 【例4】【2019黄浦二模】如图7，已知抛物线经过原点、，直线经过抛物线的顶点，点是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，联结、、AB，过点作∥轴，分别交线段、于点、. （1）求抛物线的表达式； （2