2024年九年级中考数学压轴专题复习讲义-01二次函数背景下的相似三角形　

九年级专题复习讲义 主题：01二次函数背景下的相似专题 我爱数学，学习使我快乐 【思路点拨】相似分类思路： ①一般可以找到一组固定相等的角 ②边分类-相等角的两边（利用的是两边对于成比例且夹角相等） ③角分类-若上述比例式中的边没法表示时，可按角继续分类 题型一：恒等角（夹角）+两边对应成比例 【例1】同一夹角＋两边对应成比例 【2022静安一模】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（2, 0）和点B（－1，m），顶点为点D． （1）求直线AB的表达式； （2）求的值； （3）设线段BD与 x轴交于点P，如果点C在x轴上，且△ABC与△ABP相似，求点C的坐标． y B A O x （第24题图） D 【答案】解：（1）抛物线经过点A（2, 0）和点B（－1，m）， 将点A（2, 0）代入得：． …………………………（1分） 又∵过点B（－1，m），代入得：，∴B（－1，3），…………（1分） 设直线AB的表达式为；将A（2, 0）、B（－1，3）代入得． ，解得： ∴直线AB的表达式为；…………………………（2分） （2）∵顶点为点D，∴D（1，-1），…………………………（1分） ∴，， ，∴，…………………………（2分） ∴△ABD是直角三角形，即∠BAD=90°，∴；…………（1分） （3）设线段BD的表达式为，过B（－1，3），D（1，-1）， ，解得：，∴线段BD的表达式为； ∴线段BD与 x轴交点P的坐标为．…………（1分） 由题意可知△ABP是钝角三角形，∠BPA是钝角 ∵点C在x轴上，且△ABC与△ABP相似， ①当点C在点A右侧时，∠BAC=∠BPA +∠PBA>∠BPA,不合题意,舍去； ②当点C在点A左侧，且与点P重合时，点C；……………………（1分） ③当点C在点A左侧，且与点P不重合时，由△ABC与△ABP相似，∠BAP=∠CAB 可得∠APB = ∠ABC, ∠PBA=∠ACB, 过点B作BH⊥x轴，垂足为H， ∵，∴ ∵B（－1，3），∴BH=3，∴CH=9，∴CH=9，∴C（－10，0）．…………（2分） 综上所述，点C的坐标为、． 【例2】“45°”等特殊角（夹角） 【23崇明一模】如图，在直角坐标平面xOy中，对称轴为直线的抛物线经过点、点，与y轴交于点B． （1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线顶点D的坐标； （2）联结AB、AM、BM，求的面积； （3）过M作x轴的垂线与AB交于点P，Q是直线MP上一点，当与相似时，求点Q的坐标． 解：（1）抛物线的表达式为： -----------1分 顶点坐标: D------------------1分 （2） M（1，3），B（0，2）A（4，0）------------------1分 ∴ ，， ∴ ------------------1分 ∴------------------1分 ∴-----------------1分 (3)∵，∴ ∴ ∴ ∴△APM和△BMQ相似有两种情况： 1 当时， ， ∴Q（1，）------------------2分 2 当时， ， ∴Q（1，）-----------------2分 【例3】计算三角函数值（夹角） 【23浦东一模】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴正、负半轴分别交于点B、A，与y轴交于点C，已知，，． （1）求该抛物线的表达式； （2）设该抛物线的对称轴分别与x轴、交于点E、F，求的长； （3）在（2）的条件下，联结，如果点P在该抛物线的对称轴上，当和相似时，求点P的坐标 【答案】（1） （2） （3）P的坐标为：或． 【分析】（1）先利用抛物线的解析式求解C的坐标，再求解B的坐标，A的坐标，设设抛物线为，把代入即可； （2）先求解抛物线的对称轴为直线，再求解直线为，可得F的坐标，从而可得答案； （3）如图，过作于，证明，可得，而，可得，则，当和相似时，显然与对称轴没有交点，不在的下方，只能在的上方，且与是对应角，再分两种情况分别求解即可． （1）抛物线的解析式为：． （2）∵，，∴抛物线的对称轴为直线， ∵，，设直线为，∴，解得：， ∴直线为，当时，，即，∴． （3）如图，过作于， ∵，，， ∴，，，， ∴，则，∴，而，∴， 而，∴，∴， 当和相似时，显然与对称轴没有交点， ∴不在的下方，只能在的上方，且与是对应角， 当时，∴， ∴，∴， 当，∴，∴，解得：，∴． 综上：P的坐标为：或． 【例4】倍角求等角 【23年长宁一模】已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点， 为坐标原点，且. （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点是线段上的一个动点（不与点、重合），过点作轴的垂线交抛物