专题03 不等关系与不等式性质-2025年高考数学一轮复习讲义（知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测）（新高考专用）

专题03 不等关系与不等式性质（新高考专用） 目录 【知识梳理】 2 【真题自测】 3 【考点突破】 3 【考点1】比较数(式)的大小 3 【考点2】不等式的基本性质 4 【考点3】不等式性质的综合应用 5 【分层检测】 6 【基础篇】 6 【能力篇】 8 【培优篇】 8 考试要求： 1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据. 2.理解不等式的概念. 3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用. 知识梳理 1.两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 2.不等式的性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)同向可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方性：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2). 1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 2.有关分式的性质 (1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0). (2)若ab>0，且a>b⇔<. 真题自测 一、单选题 1．（2019·全国·高考真题）若a>b，则 A．ln(a−b)>0 B．3a<3b C．a3−b3>0 D．│a│>│b│ 2．（2018·全国·高考真题）设，，则 A． B． C． D． 3．（2024·上海杨浦·二模）已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·辽宁·模拟预测）已知，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（2024·河北石家庄·二模）若实数，且，则的取值范围是 . 考点突破 【考点1】比较数(式)的大小 一、单选题 1．（21-22高二下·江西九江·期末）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·广东广州·一模）若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2023·全国·模拟预测）已知,,则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·广东肇庆·二模）已知正数满足等式，则下列不等式中可能成立的有（     ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2023·内蒙古赤峰·一模）已知，，，则的大小关系是 . 6．（2024·吉林·模拟预测）请写出一个幂函数满足以下条件：①定义域为；②为增函数；③对任意的，，都有，则 ． 反思提升： 1.作差法一般步骤：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差. 2.作商法一般步骤：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论. 3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系. 4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小. 【考点2】不等式的基本性质 一、单选题 1．（22-23高一下·云南玉溪·期中）若，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·辽宁·一模）设则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2021·江苏扬州·模拟预测）已知两个不为零的实数，满足，则下列说法中正确的有（    ） A． B． C． D． 4．（2023·湖北襄阳·模拟预测）我们可以利用曲线和直线写出很多不等关系，如由在点处的切线写出不等式，进而用替换得到一系列不等式，叠加后有这些不等式体现了数学之美.运用类似方法推导，下面的不等式正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2023·山西大同·模拟预测）已知，，，，则的最小值为 ． 6．（2024·河北承德·二模）已知等差数列（公差不为0）和等差数列的前项和分别为，如果关于的实系数方程有实数解，则以下1003个方程中，有实数解的方程至少有 个. 反思提升： 解决此类题目常用的三种方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件； (2)利用特殊值法排除错误答案； (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、