湖南省2024年数学中考第一轮复习微专题14　圆中常用辅助线的探寻课件

微专题14　圆中常用 辅助线的探寻 湖南2024年数学中考第一轮复习 类型1　见弦连半径,得等腰三角形 图形 示例 辅助 线 在求圆中有关边长和角度时,连接圆心和弦的两个端点,组成等腰三角形,利用等腰三角形的性质求解 思路 结论 OA=OB,∠OAB=∠OBA 【针对训练】 1.(2023·株洲醴陵一模)如图,已知AB是☉O的一条弦,AB=6,点M在AB上,且AM=2, 若OM=,则☉O的半径为( ) 　　　　 　　　　　　　　　　　 A.4 B.5 C.6 D. B 2.(2023·长沙一模)如图,点A,B,C均在☉O上,若∠A=48°,∠C=15°, 则∠B=( ) A.48° B.78° C.63° D.49° 3.(2023·长沙开福一模)如图,在☉O中,直径CD垂直于弦AB,若∠C =24°,则∠BOD的度数是( ) A.48° B.30° C.60° D.24° 4.(2023·衡阳衡南三模)在☉O中,直径AB=4,弦CD⊥AB于P,OP=, 则弦CD的长为_______.  C A 　2　 类型2　见弦作垂径,得直角三角形 图形 示例 辅助 线 在求圆中有关弦长和半径时,过圆心作弦的垂线段,再连接半径, 组成直角三角形,利用垂径定理、勾股定理、锐角三角函数求解 思路 结论 AC=BC,OC2+BC2=OB2 【针对训练】 5.(2023·株洲炎陵模拟)筒车是我国古代发明的一种水力灌溉工具,明朝科学家徐 光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理,如图1.筒车盛水筒的运行 轨道是以轴心O为圆心的圆,如图2.已知圆心O在水面上方,且☉O被水面截得的 弦AB长为6米,☉O半径长为4米.若点C为运行轨道的最低点,则点C到弦AB所在直 线的距离是___________米.  　(4-)　 6.(2023·岳阳一模)如图,在☉O中,已知AB是直径,P为AB上一点(P不与A,B两点 重合),弦MN过P点,∠NPB=45°. (1)若AP=2,BP=6,则MN的长为__________;  (2)当P点在AB上运动时(保持∠NPB=45°不变),则=_____.  　2　  　 7.如图是一根圆形下水管道的横截面,管内有少量的污水,此时的水面宽AB为0.6米,污水的最大深度为0.1米. (1)求此下水管横截面的半径; (2)随着污水量的增加,水位又被抬升0.7米,求此时水面的宽度增加了多少? 【解析】(1)过点O作OD⊥AB于点C,交圆O于点D,连接OB,则CD=0.1米, ∴BC=AB=0.3米, 设此下水管横截面的半径为r米, 则OB=OD=r米,∴OC=(r-0.1)米, 在Rt△BOC中,OB2=OC2+BC2, ∴r2=(r-0.1)2+0.32,解得r=0.5, 即此下水管横截面的半径为0.5米; (2)如图,过点O作OH⊥MN于点H, ∴MH=NH=MN, 根据题意得:CH=0.7米,ON=0.5米, ∴OH=0.7-(0.5-0.1)=0.3(米), ∴NH==0.4(米), ∴MN=0.8米, ∴此时水面的宽度增加了0.8-0.6=0.2(米). 类型3　见直径作弦,得90°圆周角 图形 示例 辅助 线 在求圆中有关边长和角度时,如果见到直径,连接圆上一点和直径的 两个端点,组成直角三角形,利用勾股定理和锐角三角函数求解 思路 结论 ∠C=90°,AC2+BC2=AB2 【针对训练】 8.(2023·长沙芙蓉三模)如图,AB是☉O的直径,若∠BAC=36°,则∠ADC的度数 为( ) A.36° B.45° C.54° D.72° C 9.(2023·岳阳平江模拟)如图,在☉O中,AB为直径,CD⊥AB于点E,点F为☉O上一点,点D关于CF的对称点G恰好在直径AB上,连接CG,DG,AF,DB,AC,BC. (1)若∠F=70°,AB=4,则的长为多少?(结果保留π). (2)若DB=,AE∶BE=5∶1,则GE为多少? 【解析】(1)连接OD,OC, ∵∠F=70°, ∴∠AOC=2∠F=140°, ∵AB为☉O的直径,CD⊥AB, ∴=, ∴∠AOC=∠AOD=140°, ∵AB=4, ∴的长==π. (2)连接AD, ∵AE∶BE=5∶1,∴AB=6BE, ∵AB为☉O的直径, ∴∠ADB=90°, ∵AB⊥CD, ∴∠DEB=90°, ∴∠ADB=∠DEB=90°, ∵∠ABD=∠DBE, ∴△BED∽△BDA,∴=, ∴BD2=BE·BA, ∵BD=, ∴()2=BE·6BE, 解得BE=1或BE=-1(舍去), ∴AE=5BE=5. 在Rt△BED中,DE===, ∵点D关于CF的对称点G恰好在直径AB上, ∴CG=CD,