江苏省溧阳市竹箦中学苏教版数学必修二学案：1.3空间几何体的体积（2份）（2份打包）

课时15 空间几何体的体积（2） 【课标展示】 1． 理解球的表面积公式的推导。 2．会求一些球的组合体中的面积与体积的问题. 【课前预习】 （一）学点： 1．球没有底面,也不能像柱体、锥体、台体那样展成平面图形，它的体积和表面积的求法涉及极限思想(一种很重要的数学方法).经过推导证明： 2．球的体积公式 3．球的表面积公式 其中， 为球的半径.显然，球的体积和表面积的大小只与 有关. （二）练习： 1．火星的半径大约是地球的一半，地球表面积是火星表面积的 倍。 2．木星的表面积大约是地球的120倍，它的体积约是地球的 倍。 3．三个球的半径之比是1：2；3，则其中最大的一个球的体积是另外两个球的体积之和 的 倍。 4．一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm ,则球的体积为 。 5．设P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=1 cm ,求球O的体积与表面积。 【课堂探究】 例1． 若圆柱的底面积是 ，其侧面展开图是正方形，求该圆柱的体积。 例2.一个正方体内接于半径为R的球内,求正方体的体积. 例3、 已知正四面体的棱长为 ，四个顶点都在同一个球面上，试求这个球的表面积和体积。 【课时作业15】 1．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 . 2．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则 = . 3.已知正方体外接球的体积是 ，那么正方体的棱长等于 . 4.一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 则此球的表面积为 . 5. 已知球的两个平行截面的面积分别为 和 ，且截面位于球心的同一侧，它们相距 ，则该球的球面面积为 ． 6.把边长为 的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,折成直二面角后,在A,B,C,D四点所在的球面上，则该球的球面积为 . 7. 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为 的铁球，并向容器内注水，使球浸入水中且水面恰好与铁球面相切，将球取出后，容器内的水深是多少？ 8. 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比. 9．（探究创新题）半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为 ，求球的表面积和体积. 10．已知三棱锥 的各顶点都在一个半径为 的球面上，球心 在 上， 底面 ， ，求球的体积与三棱锥体积之比是多少? 【疑点反馈】（通过本课时的学习、作业之后，还有哪些没有搞懂的知识，请记录下来） 课时15 空间几何体的体积（2） （二）练习： 1、4倍 2、120 倍 3、3 4、 5、 ， 【课堂探究】 例1、解：设圆柱的底面半径为 ，母线长为 ，则 ，即 ，又圆柱的侧面展开图是正方形，故 所以该圆柱的体积为 例2、解：因为正方体内接于球内，所以正方体的8个定点均在球面上，又正方体和球体都是中心对称图形，所以它们的对称中心必重合，即球心就是正方体的中心，设正方体的棱长为 a, 则 所以,正方体的体积为: 例3、解：设正四面体PABC的高为 ，球心为 ，半径为 ，则 ， 在中， ， 在 中， ，即 ，解得 ， 所以球的表面积 ， 体积 【课时作业15】1． 2． 解析：水面高度升高r，则圆柱体积增加πR2·r。恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有 πr3=πR2r。故 . 3. . 4. ,解析：长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 ，由 5. 解析：如图，画出球的轴截面，得 ， ， ，因为 ，则 ，所以， ． 6. 4 ,解析：把边长为 的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,折成直二面角后,在A,B,C,D四点所在的球面上, B与D两点恰好是两条垂直的半径的端点，球的半径为1，其面积为4 。 7. 解：如图设 为 中心，则 ， ， 且取出后圆锥底面半径 ， 则 解得: ． 即将球取出后，容器内的水深是 . 8. 解：如图所示，等边△SAB为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C1CDD1，截球面得球的大圆圆O1. 设球的半径O1O＝R，则它的外切圆柱的高为2R，底面半径为R，则有 OB＝O1O·tan60°＝R SO＝OB·tan60°＝＝3RR· ∴V球＝πR3,V柱＝πR2·2R＝2πR3 V锥＝R）2·3R＝3πR3π（ ∴V球∶V柱∶V锥＝ 4∶6∶9