专题7.1 解析几何大题压轴（真题体验+九个重难热点+模拟练）-2024年新高考数学二轮复习重难点提升精讲（新高考专用）

专题7.1解析几何大题压轴 1．（2023年北京高考数学真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． (1)求的方程； (2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：． 2．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 3．（2023年天津高考数学真题）已知椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 4．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于． 5．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 6．（2022年新高考浙江数学高考真题）如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点． (1)求点P到椭圆上点的距离的最大值； (2)求的最小值． 7．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为． (1)求C的方程； (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M在上；②；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 8．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． (1)求C的方程； (2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 9．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． (1)求E的方程； (2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 10．（2022年新高考全国I卷数学真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0． (1)求l的斜率； (2)若，求的面积． 题型一 双变量假设法 【解题方法】当直线既不过定点，也不知斜率时，设直线，就需要引入两个变量了。 一般设为，此时直线不包含斜率不存在，注意适当的对此补充讨论。一般情况下，试题中一定存在某个条件，能推导出两变量之间的函数关系。 【例1】已知椭圆的左焦点，点在椭圆上，过点的两条直线分别与椭圆交于另一点，且直线的斜率满足． (1)求椭圆的方程； (2)证明直线过定点． 【例2】已知椭圆：与抛物线：有相同的焦点，且椭圆过点． (1)求椭圆与抛物线的标准方程； (2)椭圆上一点在轴下方，过点作抛物线的切线，切点分别为，求的面积的最大值． 【变式1-1】已知椭圆C：的焦距是短轴长的倍，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆C交于A、B两点，与y轴交于点P，线段AB的垂直平分线与AB交于点M，与y轴交于点N，O为坐标原点，如果，求k的值. 【变式1-2】已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若为坐标原点，斜率存在的直线与椭圆交于两点，当的面积最大时，求直线与直线的斜率之积． 【变式1-3】已知椭圆的左、右焦点为为椭圆上一点，的面积的最大值为4，直线与椭圆交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)点，设直线和的斜率分别为，若，求的面积的最大值． 题型二 最值与范围问题 【解题方法】大题一般做法：利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、均值不等式方法等进行求解 【例3】已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线的焦点与重合，若点为椭圆和抛物线在第一象限的一个公共点，且的面积为，其中为坐标原点． (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆的上顶点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点，求的最大值． 【例4】设抛物线，直线与交于，两点，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知点为上一点，过点作抛物线的两条切线，，设切点分别为，，试求直线，斜率之积的最小值． 【变式2-1】设椭圆，的离心率是短轴长的倍，直线交于、两点，是上异于、的一点，是坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线过的右焦点，且，，求的值； (3)设直线的