精品解析：北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

人大附中2023~2024学年度第二学期高二年级数学期中练习 2024年4月23日 制卷人：吴文庆 审卷人：吴中才 杨良庆 说明：本试卷共六道大题，26道小题，共6页，满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（共18题，满分100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 1. 已知数列的通项公式是，则是该数列的（ ） A. 第9项 B. 第10项 C. 第11项 D. 第12项 2. 若函数，则（ ） A. B. C D. 3 等差数列中，若，，则其公差等于（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 18 4. 如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 是区间上的增函数 B. 是区间上的减函数 C. 1是的极大值点 D. 4是的极小值点 5. 若是等差数列的前项和，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数有极值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（ ） A. B. C. 4 D. 8. 已知在处可导，在附近x的函数值，可以用“以直代曲”的方法求其近似代替值：．对于函数，利用这一方法，的近似代替值（ ） A. 大于m B. 小于m C. 等于m D. 与m的大小关系无法确定 9. 设为无穷等比数列的前n项和，则“有最大值”是“有最大值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 10. 设函数定义域为D，若函数满足：对任意，存在，使得成立，则称函数满足性质.下列函数不满足性质的是（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．） 11. 函数，则_____. 12. 用数学归纳法证明命题“，时，假设时成立，证明时也成立，可在左边乘以一个代数式______． 13. 已知函数，若在区间上是增函数，则实数a的取值范围是 ________． 14. 小杰想测量一个卷纸展开后的总长度，卷纸中的纸是单层的，且卷纸整体呈一个空心圆柱形，即大圆柱在其正中间挖去了一个小圆柱，测得小圆柱底面的直径为5厘米，大圆柱底而的直径为11厘米．由于单层纸的厚度不易测量，小杰利用游标卡尺测得10层纸的总厚度为0.3厘米．试估算这个卷纸的总长度（单位：米）为______．（结果精确到个位，取） 15. 与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线．关于曲线的法线有下列四种说法： ①存在一类曲线，其法线恒过定点； ②若曲线的法线的纵截距存在，则其最小值为； ③存在两条直线既是曲线的法线，也是曲线的法线； ④曲线的任意法线与该曲线的公共点个数均为1． 其中所有说法正确的序号是______． 三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．） 16. 已知函数，在处取得极值． （1）求在区间上平均变化率； （2）求曲线在点处的切线方程； （3）求曲线过点的切线方程． 17. 设等差数列的前项和为，，． （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，求． 18. 已知函数，其中． （1）当时，求的极值； （2）讨论当时函数的单调性； （3）若函数有两个不同的零点、，求实数a的取值范围. 第Ⅱ卷（共8道题，满分50分） 一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 19. 已知函数满足：对任意，由递推关系得到的数列是单调递增的，则该函数的图象可以是（ ） A. B. C. D. 20. 设数列的前n项和，若，则（ ） A. 数列满足 B. 数列为递增数列 C. 的最小值为 D. ，，不成等差数列 21. 已知正项数列满足为的前项和，则“是等差数列”是“为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 22. 已知无穷数列，．性质，，，性质，，，，给出下列四个结论： ①若，则具有性质； ②若，则具有性质； ③若具有性质，则； ④若等比数列既满足性质又满足性质，则其公比的取值范围为． 则所有正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．） 23. 写出一个满足的函数______． 24. 已知函数，设曲线在点处切线的斜