安徽省蚌埠市皖北私立联考2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
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怀远禹泽、固镇汉兴2023-2024学年第二学期
高二年级期中考试数学试题
时间：120分钟 分数：150分
一、单选题
1．已知函数
的图象与直线
相切于点
，则
（ ）
A．4 B．8 C．0 D．-8
2．下列求导运算结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知随机变量
的分布列为
，2，3，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．9 D．7
5．已知
（
为常数）在
上有最大值3，则函数在上的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．用5种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有多少种不同的书写方案？（ ）
A．240 B．480 C．120 D．200
7．已知函数
为定义在
上的偶函数，当
时，
，则下列四个判断正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．重庆，我国四大直辖市之一，这里资源丰富，旅游景点也多，不仅有山水自然风光，还有人文历史景观．现有甲、乙两位游客慕名来到重庆旅游，分别准备从巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源4个国家5A级旅游景区中随机选择其中一个景区游玩．记事件
：甲和乙至少一人选择酉阳桃花源景区，事件
：甲和乙选择的景区不同，则概率
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．关于
的展开式，下列结论正确的是（ ）
A．奇数项的二项式系数和为32
B．所有项的系数和为243
C．只有第3项的二项式系数最大
D．含x项的系数为40
10．有一组样本数据
，添加一个数形成一组新的数据，且
，则新的样本数据（ ）
A．众数是1的概率是
B．极差不变的概率是
C．第25百分位数不变的概率是
D．平均值变大的概率是
11．已知函数
，则（ ）
A．的极小值点为
B．的极大值为
C．曲线
在
单调递减
D．曲线在点
处的切线方程为
三、填空题
12．设曲线y＝ax3+x在（1，b）处的切线与直线2x﹣y﹣6＝0平行，则实数a的值为 .
13．有
位大学生要分配到
三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这位学生中的甲同学分配在
单位实习，则这位学生实习的不同分配方案有 种．（用数字作答）
14．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在
年中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在
年才发现这一规律，比杨辉要晩近四百年．如图所示的杨辉三角中，从第
行开始，每一行除
外，其他每一个数字都是其上一行的左右两个数字之和，若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为
，则这一行是第 行．
四、解答题
15．从7名男生和5名女生中选出4人去参加一项比赛．
(1)若男生甲和女生乙必须参加，则有多少种选法？
(2)若4人中必须既有男生又有女生，则有多少种选法？
(3)若女生至少要有2人参加，则有多少种选法？
试卷第1页，共1页
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16．已知函数
．
(1)当
时，求的极值；
(2)讨论函数的单调性．
17．某地要从2名男运动员､4名女运动员中随机选派3人外出比赛.
(1)若选派的3人中恰有1名男运动员和2名女运动员，则共有多少种选派方法？
(2)设选派的3人中男运动员与女运动员的人数之差为，求的分布列.
18．在
的展开式中，
(1)求二项式系数最大的项；
(2)若第
项是有理项，求的取值集合.
(3)系数的绝对值最大的项是第几项；
19．已知函数
.
(1)当
时，求
在点
处的切线方程；
(2)若对
，都有
恒成立，求
的取值范围；
(3)已知
，若
，
且满足
，使得
，求证：
．
试卷第2页，共1页
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参考答案：
1．B
【分析】根据导数的几何意义直接求解出
的值，再根据点在直线上求解出
的值，即可计算出结果.
【详解】直线的斜率为4，直线与函数的图象相切于点
，
根据导数的几何意义即为切线的斜率，所以
，
又点在函数的图象上，同时也在切线上，所以
，
．
则
．
故选：B．
2．B
【分析】根据导数的运算法则及基本初等函数的导数公式计算可得.
【详解】A：
，故A错误；
B：
，故B正确；
C：
，故C错误；
D：
，故D错误；
故选：B.
3．C
【分析】由随机变量的分布列的性质即概率和等于1，可求得的值，又由
，计算可得答案.
【详解】根据题意，随机变量的分布列为
，
由分布列的性质，则有
，解得
，
故.
.
故选：C.
4．B
【分析】根据题意分别将
化简为
，然后对每项进行二项式展开求出
项的系数，从而可求解.
【详解】由题意可得
，然后分别求出
和
中项的系数，
对于，其展开式通项为
，当
时，项的系数为
，
对于，其展开式通项为
，当
时，项的系数为，
所以项的系数
，故B正确.
故选：B.
5．C
【分析】对函数进行求导，判断其单调性和最值，根据最大值为
求出，进而根据单调性可得其最小值.
【详解】由得
，
故当
时，
，在区间
上单调递增，
当
时，
，在区间
上单调递减，
故当
时，取得最大值，即
，此时
，
当，
，当时
，
故最小值为
，
故选：C
6．A
【分析】利用分步乘法计数原理与排列的知识即可得解.
【详解】根据题意，“英语角”、“语文学苑”和“理综世界” 两两相邻，有
种方案，
而“数学天地”只和“理综世界”相邻，只要和“理综世界”的颜色不同即可，故有4种方案，
总共有
种方法.
故选：A
7．D
【分析】由
结构特征可知
是函数
的导数简单变形得到的，故构造函数并得到函数的单调性，再结合函数奇偶性即可判断选项中各函数值大小.
【详解】令，则
在
恒成立，所以在单调递增，所以
，即
，
又因为函数为定义在
上的偶函数，所以
，即，
故选：D.
8．D
【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】甲、乙两位游客分别从4个景区选择一个游玩的总情况数为
种，
其中甲和乙至少一人选择酉阳桃花源景区的情况数为
，则
，
事件
表示：甲乙选择的景区不同，且至少一个选择酉阳桃花源景区，
则符合要求的情况数为
种，则
，
所以
.
故选：D
9．BD
【分析】由二项展开式的二项式系数的性质判断AC；取
求得所有项的系数和判断B；写出展开式的通项，由x的指数为1求得r值，可得含x项的系数判断D．
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