第十七章 勾股定理 小结-【中考快递】2023-2024学年八年级下册数学同步测（人教版）

- 37 - 第十七章　勾股定理 ■　小结 ■ 一、选择题 1./教材 P38习题 5变式 /　 以下列长度的三条线段为边,能组成直角 三角形的是 ( ) A.1,1,1 B.2,3,4 C.1,3,2 D.7,3,5 (2题图) 2.如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组 成的网格中,线段AB 的两个端点都在正方形 网格的格点上,则AB 的长度可能是 ( ) A.3 B.5 C.6 D.7 3.下列命题的逆命题是真命题的是 ( ) A.如果两个角是直角,那么它们相等 B.全等三角形的面积相等 C.同位角相等,两直线平行 D.若a=b,则a2=b2 二、填空题 4./新课标·提升核心素养 /　 如图,在正方形ABCD 中,E 是AB 边的 中点,点F 在AD 边上,且DF=3AF,连接EF,EC,FC,则 ∠FEC 的度数是 . 5.如图,在△ABC 中,AB=AC=10,BD 是AC 边上的高,且 DC=2,则BC 的长为 . (4题图) (5题图) - 38 - 6.如图,有两棵树,一棵高6 m,另一棵高2 m,两树相距5 m.一 只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了 m. (6题图) 7.在平面直角坐标系中,如果点P(3,2),Q(-1,5),那么PQ= . 三、解答题 8./新考向·创设真实情境 /　 如图,小旭放风筝时,风筝线断了,风筝挂 在了树上.他想知道风筝距地面的高度,于是他先拉住风筝线 垂直到地面上,发现风筝线多出1 m,然后把风筝线沿直线向后 拉开5 m,发现风筝线末端刚好接触地面(右图为示意图).请你 帮小旭求出风筝距离地面的高度AB. (8题图) 9.如图,在长方形ABCD 中,AB=8,BC=4,将长方形ABCD 沿 AC 折叠,点D 落在点D'处,求重叠部分△AFC 的面积. (9题图) - 56 - ∴AD2+AE2=AB2. ∵在 Rt△ABC 中,根据勾股定理,AC2+BC2=AB2, AC=BC,∴AB2=2AC2. ∴AD2+AE2=2AC2. 2.解:(1)如图1,过点A 作AH⊥AP,且使AH=AP=a,连 接PH,BH. ∴∠HAP=90°,∠APH=∠AHP=45°. ∴在Rt△AHP 中,根据勾股定理,得 PH= AH2+AP2= a2+a2= 2a. ∵∠HAP=∠BAD=90°, ∴∠HAP+∠PAB=∠BAD+∠PAB,即∠HAB= ∠PAD. 在△AHB 和△APD 中, AH=AP, ∠HAB=∠PAD, AB=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△AHB≌△APD(SAS).∴HB=PD. ∵∠APB=45°, ∴∠HPB=∠APB+∠APH=90°. ∴在Rt△HPB 中,根据勾股定理,得 HB= PH2+PB2= 2a2+b2. ∴PD=HB= 2a2+b2. (2题图1) (2题图2) (2)如图2,过点A 作AH⊥AP,且使AH=AP=a,连接 PH,BH. ∴∠HAP=90°,∠APH=∠AHP=45°. ∴在Rt△AHP 中,根据勾股定理,得 PH= AH2+AP2= a2+a2= 2a. 同(1)可证△AHB≌△APD.∴HB=PD. ∵∠APB=135°, ∴∠HPB=∠APB-∠APH=135°-45°=90°. ∴在Rt△HBP 中,根据勾股定理,得 HB= PH2+PB2= 2a2+b2. ∴PD=HB= 2a2+b2. 3.解:如图,以AB 为边作等边△AEB,连接CE. ∵△ABE 与△ACD 都为等边三角形, ∴∠EBA=∠EAB=∠DAC=60°,EB=AE=AB, AC=AD. ∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC,即∠EAC=∠BAD. 在△EAC 和△BAD 中, AE=AB, ∠EAC=∠BAD, AC=AD, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△EAC≌△BAD(SAS).∴EC=BD. 过点E 作EF⊥BC交CB 的延长线于点F,则∠EFB=90°. ∵∠EBA=60°,∠ABC=60°,∴∠EBC=120°. ∴∠EBF=60°. ∴∠FEB=30°.∴FB= 1 2EB. ∵EB=AB=3,∴FB= 3 2. ∴在Rt△BEF 中,根据勾股定理,得 EF= EB2-FB2= 32- 32 2 = 33 2 . ∵BC=5,∴FC=BC+FB=5+ 3 2= 13 2. ∴在Rt△ECF 中,根据勾股定理,得 EC= FC2+EF2= 132 2 + 33 2 2 =7. ∴BD=EC=7. (3题图) 4.解:如图,以CD 为边作等边△CDE,连接AE. ∵△ABC 与△CDE 都为等边三角形, ∴AC=BC,∠ACB=