第十七章 微专题 勾股定理与全等构造-【中考快递】2023-2024学年八年级下册数学同步测（人教版）

- 35 - 第十七章　勾股定理 ■　微专题 勾股定理与全等构造 ■ 1./星★改编 /　 如 图,△ABC 和△ECD 都 是 等 腰 直 角 三 角 形, ∠ACB=∠DCE=90°,D 为AE 上一点.求证: (1)△ACE≌△BCD; (2)AD2+AE2=2AC2. (1题图) 2.在△ABD 中,AB=AD,∠BAD=90°,AP=a,PB=b. (1)如图1,若点P 在△ABD 外,且∠APB=45°,求PD 的长; (2)如图2,若点P 在△ABD 内,且∠APB=135°,求PD 的长. (2题图1) (2题图2) - 36 - 3.如图,在△ABC 中,∠ABC=60°,AB=3,BC=5,以AC 为 边在△ABC 外作等边△ACD,求BD 的长. (3题图) 4.如图,△ABC 为等边三角形,∠ADC=30°,AD=3,BD=5, 求CD 的长. (4题图) - 55 - (10题图) ■ 17.1　勾股定理（2） 一、选择题 1.D 2.B 3.D 二、填空题 4.25 5.4 6.6 三、解答题 7.解:如图,过点A 作AD⊥BC 于点D. ∴∠ADB=∠ADC=90°. ∵∠B=30°,AB=10,∴AD= 1 2AB=5. 在Rt△ABD 中,根据勾股定理,得 BD= AB2-AD2= 102-52=53. 在Rt△ACD 中,∵AC=13,AD=5, ∴根据勾股定理,得 CD= AC2-AD2= 132-52=12. ∴BC=BD+CD=53+12. (7题图) 8.解:设这棵树的高度CD=x m. 在Rt△ACD 中,根据勾股定理,得AD= AC2+CD2= 202+x2. 根据题意,得BC+AC=BD+AD. ∴10+20=x-10+ 202+x2.解得x=15. 答:这棵树的高度为15 m. ■ 17.1　勾股定理（3） 一、选择题 1.C 2.C 二、填空题 3.(5,0) 4.5 5.10 三、解答题 6.解:(1)∵AB=20,AE=4,∴BE=AB-AE=16. ∵四边形ABCD 为长方形,AD=12, ∴∠B=90°,BC=AD=12. 在Rt△CBE 中,根据勾股定理,得 EC= BE2+BC2= 162+122=20. (2)由折叠的性质,得∠CEB=∠FEC,B'E=BE=16, B'C=BC=12. ∵四边形ABCD 为长方形,∴AB∥CD. ∴∠FCE=∠CEB.∴∠FCE=∠FEC. ∴CF=EF. 设EF=x,则CF=x,B'F=16-x. 在Rt△B'FC 中,根据勾股定理,B'C2+B'F2=CF2. ∴122+(16-x)2=x2. 解得x= 25 2.∴EF= 25 2. (3)S阴影=S△B'EC-S△B'FC= 1 2B'C ·B'E- 1 2B'C · B'F= 1 2×12×16- 1 2×12× 16- 25 2 =96-21=75. ■ 17.2　勾股定理的逆定理（1） 一、选择题 1.B 2.C 二、填空题 3.等角对等边;真命题 4.120 5.正东或正西 6.6 13 7.14 三、解答题 8.解:如图,连接AC. ∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°. 在Rt△ABC 中,根据勾股定理,得 AC= AB2+BC2= 92+122=15. ∵AC2+AD2=152+82=289,CD2=172=289, ∴AC2+AD2=CD2. ∴△DAC 是直角三角形,∠DAC=90°. ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△DAC= 1 2AB ·BC+ 1 2AD · AC= 1 2×9×12+ 1 2×8×15=114. (8题图) 9.解:(1)补全图形如图所示. (9题图) S四边形ABCD=(4+5)×5× 1 2-4×2× 1 2- (1+3)×1× 1 2-1×4× 1 2=14.5. (2)∠BCD 是直角.理由如下: 如图,连接BD. 根据勾股定理,得BC= 42+22=25,CD= 22+12= 5,BD= 42+32=5. ∵BC2+CD2=20+5=25=BD2, ∴△BCD 是直角三角形,∠BCD=90°. ■ 17.2　勾股定理的逆定理（2） 一、选择题 1.A 2.C 3.D 二、填空题 4.同位角相等,两直线平行 5.12 三、解答题 6.解:根据题意,得AB=16×3=48. ∵AC=36,BC=60, ∴AC2+AB2=362+482=3 600,BC2=602=3 600. ∴AC2+AB2=BC2. ∴△ABC 是直角三角形,∠BAC=90°. ∵∠BAF=50°,∴∠DAC=40°. ∴乙船的航行方向为北偏东40°. 7.解:(1)证明:∵BC=20,CD=16,BD