8.2.2非线性回归分析导学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.2.2非线性回归分析 主备人：董建立 潘成雪 审核人：高二数学组 【学习目标】解决非线性问题时，应先选择函数模型，进行变量代换，求出代换后的回归方程，再转化为非线性回归方程 【学习重点与难点】非线性问题及转化 【教学过程】 一、新知自学（自学课本，完成下列问题） 如右图所示，散点图中的散点并不是随机分布在经验回归直线的周围， 而是围绕着经验回归直线有一定的变化规律， 即成对样本数据呈现出明显的非线性相关的特征. 1.非线性经验回归问题的解题步骤 2.常见转化类型 （1）反比例函数y=a+可作变换t=,得y=a+bt. （2）幂函数型y=axb(a>0)可作变换Y=ln y,m=ln a,t=ln x,则有Y=m+bt. （3）指数型函数y=kabx(a>0且a≠1,k>0)可作变换Y=ln y,m=ln k,则有:Y=m+(bln a)x. （4）对数函数y=α+βlogax(a>0且a≠1)可令x´=logax，则y´=α+βx´. 二、应用举例（组内交流、成果展示） 例1 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量Y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值. (xi-)2 (wi-)2 (xi-)(yi-) (wi-)(yi-) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中wi=,=wi. (1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量Y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程; (3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题: ①年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大? 附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线=+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为 =,=-. 三、归纳小结（梳理课堂、归纳总结） 四、当堂练习（验收成果、查漏补缺） 1.某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每批产品的非原料总成本y(单位:元)与生产该产品的数量x(单位:千件)有关，经统计得到如下数据: x 1 2 3 4 5 6 7 y 6 11 21 34 66 101 196 根据以上数据，绘制成如图所示的散点图. 观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型y=a+bln x和指数函数模型y=c·dx分别对两个变量的关系进行拟合. (1)根据散点图判断y=a+bln x与y=c·dx(c，d均为大于零的常数)哪一个更适合作为非原料总成本y关于生产该产品的数量x的回归方程类型;(给出判断即可，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中的数据，建立y关于x的回归方程; (3)已知每件产品的原料成本为10元，若该批产品的总成本不得高于123470元，请估计最多能生产多少千件产品. 参考数据: xiyi xivi 100.54 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 其中vi=lg yi，=vi. 参考公式:对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线=+u的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=-. 2.(2023·宁夏六盘山模拟)截至2021年12月，中国网民规模达10.32亿人，随之电信网络诈骗犯罪形势也非常严峻.2021年6月，公安部推出国家级反诈防骗系统——国家反诈中心APP，这是一款能有效预防诈骗、快速举报诈骗内容的软件，用户通过学习里面的防诈骗知识可以有效避免各种网络诈骗的发生，减少不必要的财产损失.某省自国家反诈中心APP推出后，持续采取多种推广方式，积极推动全省安装注册工作.经统计，省反诈中心发现全省网络诈骗举报件数y(单位:件)与推广时间有关，并记录了经推广x个月后举报件数的数据: 推广月数/个 1 2 3 4 5 6 7 y/件 891 888 351 220 200 138 112 (1)现用y=a+作为回归方程模型，利用表中数据，求出该回归方程; (2)分析该省一直加大力度推广下去有可能将网络诈骗举报件数降低至接近于零吗? 参考数据: tiyi -7 1586 0.37 0.55 其中ti=. 参考公式:对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(x