8.2.1一元线性回归模型导学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.2.1 一元线性回归模型及其应用 主备人：赵秀敏 王冬梅 审核人：高二数学组 【学习目标】1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义；2.通过用数学方法刻画散点与直线接近的程度，了解一元线性回归模型参数的最小二乘估计原理，能推导参数估计公式；3.通过对残差和残差图的分析，能用残差判断一元线性回归模型的有效性. 【学习重点与难点】一元线性回归模型的含义、最小二乘估计原理、推导参数估计公式 【教学过程】 一、新知自学（自学课本，完成下列问题） 知识点一：一元线性回归模型 用X表示父亲身高，Y表示儿子身高，e表示随机误差，假定随机误差e的均值为0，方差为与父亲身高无关的定值σ2，则它们之间的关系可以表示为 ， (1) 我们称(1)式为Y关于x的 模型.其中，Y称为 或 ，x称为 或 ;a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数;e是Y与bx+a之间的随机误差，模型中的Y也是随机变量，其值虽然不能由变量x的值确定，但是却能表示为bx+a与e的和(叠加)，前一部分由x所确定，后一部分是随机的，如果e=0，那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述. 知识点二：一元线性回归模型参数的最小二乘估计 我们将 称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫最小二乘法． 注意：（1）经验回归必过 .；（2）都是 ；（3）与r符号 . 知识点三： 残差分析. 我们称yi为响应变量Y的观测值，通过经验回归方程得到的为预测值.为了研究回归模型的 ，定义残差为=yi-，残差是随机误差的 ，通过对残差的分析可判断回归模型刻画数据的 ，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面的工作称为残差分析. 知识点四：决定系数R2刻画回归效果. R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果 R2越小，表示残差平方和越大，即模型拟合效果 . 二、应用举例（组内交流、成果展示） x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 例1.某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，收集数据如右表。 （1）请根据表中数据画出散点图； （2）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程； （3）试根据求出的经验回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力； 例2.某电视厂家准备在“五一”举行促销活动，现在根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出.广告费支出x（单位：万元）和销售量y（单位：万台）的数据如下： 年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 广告费支出x 1 2 4 6 11 13 19 销售量y 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4 （1）若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的经验回归方程. （2）若用模型拟合y与x的关系，可得经验回归方程，经计算线性回归模型和该模型的分别约为0.75和0.88，请用说明选择哪个回归模型更好. （3）已知利润z（单位：万元）与x，y的关系为.根据（2）的结果回答：当广告费时，销售量及利润的预测值是多少？（精确到0.01） 参考数据：，. 参考公式：， 三、归纳小结（梳理课堂、归纳总结） 四、当堂练习（验收成果、查漏补缺） 价格x/（万元/辆） 25 23.5 22 20.5 月销售量y/辆 30 33 36 39 1.某大型汽车销售店销售某品牌A型汽车，已知该型汽车的价格与月销售量之间有如下关系： 若A型汽车的月销售量y与价格x之间的关系满足线性回归方程，则A型汽车价格降到19万元/辆时，月销售量大约是( ) A.39辆 B.42辆 C.45辆 D.50辆 2.已知x，y之间的一组数据如下表： x 2 3 4 5 6 y 3 4 6 8 9 对于表中数据，根据最小二乘法的思想得拟合程度最好的直线是( ) A. B. C. D. 3.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验.根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得经验回归直线方程，表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为( ) 零件数x 10 20 30 40 50 加工时间y（min） 62 75 81 89 A.75 B.62 C