第18章 专题4 正方形与线段根号2倍关系-【深思维】2023-2024学年八年级下册数学重难题型专项训练（人教版）

| 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　八年级·下册　 101 专题 4 正方形与线段 2倍关系 答案见 51 页 A 金题试做｜经典好题，你来挑战 引例 / 2023福州期中 /　如图,在正方形ABCD 中,点P 在边AD 上,延长CP 至点E,使得DE= DC,DN 平分∠ADE,交CE 于点N,连接AE,AN,BN. (引例图) (1)求证:EN=AN; (2)求证:AE∥BN; (3)求NB,NC,ND 三者之间的数量关系. 解析 (引例图1) (引例图2) 解:(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴DA=DC=BA=BC,∠ABC=∠ADC=90°. ∵DE=DC,∴DE=DA. ∵DN 平分∠ADE,∴∠EDN=∠ADN. 在△EDN 和△ADN 中, DE=DA, ∠EDN=∠ADN, DN=DN, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴△EDN≌△ADN(SAS).∴EN=AN. (2)证明:如图1,过点B 作BJ⊥CE 于点J,BK⊥NA 交NA 的延长线于点K. 设∠ADE=x,则∠CDE=90°+x. ∵DA=DE=DC,∴∠DEA=∠DAE= 1 2 (180°-x)=90°- 1 2x , ∠DEC=∠ECD= 1 2 (180°-90°-x)=45°- 1 2x. ∴∠AEC=∠DEA-∠DEC=90°- 1 2x- 45°- 1 2x =45°. ∵EN=AN,∴∠AEN=∠EAN=45°.∴∠ANE=∠KNJ=90°. 又∠K=∠BJN=90°,∴四边形BJNK 是矩形.∴∠KBJ=90°=∠ABC.∴∠ABK=∠CBJ. 又BA=BC,∠K=∠BJC=90°,∴△BAK≌△BCJ.∴BK=BJ.∴四边形BJNK 是正方形. ∴∠CNB=∠BNK=45°.∴∠CNB=∠AEN.∴AE∥BN. (3)如图2,过点C 作CR⊥NB 于点R,CT⊥ND 交ND 的延长线于点T. 与(2)同理,得△CBR≌△CDT,四边形CRNT 是正方形. ∴NR=CT=NT,BR=DT. 在Rt△CTN 中,根据勾股定理,得NC= NT2+CT2= 2NT. ∴NB+ND=NR+BR+NT-DT=2NT= 2NC. | 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　八年级·下册　 102 B 对点集训｜举一反三，吃透考点 变式 1 ▶ 已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点,连接DE,BE,过点E 作EF⊥DE 与直线BC 交 于点F,连接DF. (1)如图1,若点F 在边BC 上. ①求证:BE=DE; ②判断△DEF 的形状,并说明理由. (2)如图2,当点F 在BC 的延长线上时,求证:AB-CF= 2EC. (变式1图1) (变式1图2) | 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　八年级·下册　 103 变式 2 ▶ 如图1,已知正方形OEFG 的边长为13,其顶点O 为边长为10的正方形ABCD 的对角线AC,BD 的交点,连接CE,DG. (1)求证:△DOG≌△COE; (2)当点D 在正方形OEFG 的内部时,设AD 与OG 相交于点M,OE 与DC 相交于点N.求证: DM+DN= 2OD; (3)将正方形OEFG 绕点O 旋转一周,当G,D,C 三点在同一直线上时(如图2和图3),求CE 的长. (变式2图1) (变式2图2) (变式2图3) | 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　八年级·下册　 104 C 深度提升｜思维整合，融会贯通 拓展 1 ▶ 四边形ABCD 是正方形,对角线 AC,BD 相交于点O,E 为正方形内部一点, ∠AED=90°,将△AED 绕点A 按顺时针方向旋转一定角度得到△AFB.点D,E 的对应点分别 为点B,F,直线EF 经过点O. (1)△AED 的旋转角度为 ; (2)如图1,当点E 与点O 重合时,判断四边形AEBF 的形状,并说明理由; (3)如图2,当点E 与点O 不重合时,试判断BF,OE,OF 之间的数量关系,并说明理由. (拓展1图1) (拓展1图2) (拓展1备用图) | 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　八年级·下册　 105 拓展 2 ▶ / 2023广州期中 /　P 是正方形ABCD 的对角线AC 上一动点,点E 在射线BC 上,且PE=PB,连接 PD,O 为AC 的中点. (1)如图1,当点P 在线段AO 上时,连接DE 交AC 于点F. ①试判断△PDE 的形状,并说明理由; ②若正方形ABCD 的边长为4,当E 为BC 的中点时,PE 的长为 . (2)如图2,当点P