第16章 专题5 与二次根式有关的规律探究题-【深思维】2023-2024学年八年级下册数学重难题型专项训练（人教版）

| 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　八年级·下册　 20 专题 5 与二次根式有关的规律探究题 答案见 7页 A 金题试做｜经典好题，你来挑战 引例 综合与实践 小丽根据学习“数与式”积累的经验,想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规 律,下面是小丽的探究过程,请补充完整: (1)具体运算,发现规律. 等式1:1+ 1 3=2 1 3 ; 等式2:2+ 1 4=3 1 4 ; 等式3:3+ 1 5=4 1 5 ; 等式4: . (2)观察、归纳,得出猜想. 若n 为正整数,猜想等式n 可表示为 ,并证明你的猜想; (3)应用运算规律. ①化简:99+ 1 101× 199+ 1 201× 402× 101 ; ②小丽写出一个等式 4m+1+ 1 n=10 1 n (n>0),若该等式符合上述规律,求m-n 的值. 解析 解:(1)4+ 1 6=5 1 6 (2)n+ 1 n+2= (n+1) 1 n+2 证明:∵等式左边= n2+2n+1 n+2 = (n+1)2 n+2 = (n+1) 1 n+2= 右边, ∴猜想成立. (3)①原式=100 1 101×200 1 201× 402× 101=100×200× 1 101× 101× 1 201× 201× 2=20 0002. ②∵等式 4m+1+ 1 n =10 1 n (n>0)符合上述规律,∴4m+1=9,n=11. 解得m=2.∴m-n=2-11=-9. | 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　八年级·下册　 21 B 对点集训｜举一反三，吃透考点 变式 1 ▶ / 2023淮北期末 /　小丽根据学习“数与式”积累的经验,想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次 根式的运算规律,下面是小丽的探究过程,请补充完整: (1)具体运算,发现规律. 第1个等式: 1 2- 1 4= 1 2 ; 第2个等式: 1 3- 1 9= 2 3 ; 第3个等式: 1 4- 1 16= 3 4 ; 第4个等式: . (2)观察、归纳,得出猜想. 如果n 为正整数,用含n 的式子表示上述的运算规律为: ; (3)试证明你的猜想. 变式 2 ▶ / 2023邢台期末 /　观察下列各式: 第1个等式:1- 1 2= 2-1 2 = 1 2 ; 第2个等式:2- 2 3= 6-2 3 = 4× 1 3=2 1 3 ; 第3个等式:3- 3 4= 12-3 4 = 9× 1 4=3 1 4 ; …… 根据你发现的规律,解决下列问题: (1)第4个等式是 ; (2)如果n 为正整数,那么第n 个等式是 ; (3)证明你的猜想. | 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　八年级·下册　 22 变式 3 ▶ / 2022北京期中 /　小石根据学习“数与式”积累的经验,想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次 根式的运算规律.下面是小石的探究过程,请补充完整: (1)具体运算,发现规律. 特例1:1- 1 2= 2-1 2 = 1 2 ; 特例2:2- 2 5= 2×5-2 5 = 2×(5-1) 5 =2 2 5 ; 特例3:3- 3 10= 3×10-3 10 = 3×(10-1) 10 =3 3 10 ; 特例4:4- 4 17=4 4 17 ; 特例5:5- 5 26= . (2)观察、归纳,得出猜想. 如果n 为正整数,用含n 的式子表示上述运算规律为 ; (3)证明你的猜想; (4)应用运算规律: ①化简:9- 9 82× 164 3 = ; ②若 a- a 65=8 8 b 符合上述规律(a,b均为正整数),则a-b的值为 . | 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　八年级·下册　 23 C 深度提升｜思维整合，融会贯通 拓展 1 ▶ 阅读理解: 材料:小华在学习分式运算时,通过具体运算:1 1×2=1- 1 2 ,1 2×3= 1 2- 1 3 ,1 3×4= 1 3- 1 4 ,1 4×5= 1 4- 1 5 ,…… 发现规律: 1 n×(n+1)= 1 n- 1 n+1 (n 为正整数),并证明了此规律成立. 应用规律,快速计算:1 1×2+ 1 2×3+ 1 3×4+ …+ 1 9×10=1- 1 2+ 1 2- 1 3+ 1 3- 1 4+ …+ 1 9- 1 10= 1- 1 10= 9 10. 根据材料,解答下列问题: 在学习二次根式运算时,小华根据学习分式积累的活动经验,类比探究二次根式的运算规律,并 解决问题,请将下面的探究过程补充完整: (1)具体运算: 特例1:1+ 1 12 + 1 22 =1+ 1 1×2=1+1- 1 2 ; 特例2:1+ 1