第16章 专题3 二次根式分母、分子有理化的技巧-【深思维】2023-2024学年八年级下册数学重难题型专项训练（人教版）

| 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　八年级·下册　 12 专题 3 二次根式分母、分子有理化的技巧 答案见 4页 A 金题试做｜经典好题，你来挑战 引例 / 2022北京期中 /　阅读材料: 在化简二次根式时,有时会碰到形如1 3 , 1 3+1 这一类式子,通常进行这样的化简: 1 3 = 1× 3 3× 3 = 3 3 , 2 3+1 = 2(3-1) (3+1)(3-1) = 3-1,这种把分母中的根号化去的方法叫做分母 有理化.还有一种方法也可以将 2 3+1 进行分母有理化. 例如: 2 3+1 = (3) 2 -12 3+1 = (3+1)(3-1) 3+1 = 3-1. 请仿照上述方法,解决下列问题: (1) 1 2+1 分母有理化的结果是 ; (2) 2 5+ 3 分母有理化的结果是 ; (3) a-b a+ b 分母有理化的结果是 . 解析 解:(1) 1 2+1 = (2) 2 -12 2+1 = (2+1)(2-1) 2+1 = 2-1. 故答案:2-1. (2) 2 5+ 3 = (5) 2 -(3) 2 5+ 3 = (5+ 3)(5- 3) 5+ 3 = 5- 3. 故答案:5- 3. (3) a-b a+b = (a) 2 -(b) 2 a+b = (a+b)(a-b) a+b = a-b. 故答案:a-b. | 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　八年级·下册　 13 B 对点集训｜举一反三，吃透考点 变式 1 ▶ / 2022河北期中改编 /　先阅读,再解答:由(5+3)(5- 3)=(5)2-(3)2=2可以看出,两个含有 二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因式,在进行二次根 式计算时,利用有理化因式,有时可以化去分母中的根号,例如: 1 3+ 2 = 3- 2 (3+ 2)(3- 2) = 3- 2,请完成下列问题: (1)2-1的有理化因式是 ; (2)化去分母中的根号: 3 3- 6 = ; (3)计算: 1 2- 3 + 1 3- 2 . 变式 2 ▶ / 2022山东期中 /　阅读下列运算过程: 1 3- 2 = 3+ 2 (3- 2)(3+ 2) = 3+ 2 (3) 2 -(2) 2= 3+ 2; 1 3+ 2 = 3- 2 (3+ 2)(3- 2) = 3- 2 (3) 2 -(2) 2= 3- 2. 完成下列问题: (1)3+ 2与 3- 2是互为 的关系; (2)100- 99的倒数是 ; (3)比较 2 021- 2 020与 2 020- 2 019的大小,并说明理由. | 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　八年级·下册　 14 变式 3 ▶ / 2022烟台期中 /　阅读理解: 已知a= 1 2+ 3 ,将其分母有理化. 小明同学是这样解答的:a= 1 2+ 3 = 2- 3 (2+ 3)(2- 3) =2- 3. 请你参考小明的化简方法,解决下列问题: (1)计算: 1 2+1 ; (2)计算: 1 2+1 + 1 3+ 2 +…+ 1 2 021+ 2 020 (2 021+1); (3)若a= 1 2- 5 ,求2a2+8a+1的值. C 深度提升｜思维整合，融会贯通 拓展 1 ▶ 二次根式的除法可以这样解:如2+ 3 2- 3 = (2+ 3)(2+ 3) (2- 3)(2+ 3) =7+43,像这样通过分子、分母同乘 一个式子把分母中的根号化去或把根号里的分母化去,叫分母有理化.下列判断正确的是( ) ①若a 是 2的小数部分,则 3 a 的值为 2; ②比较两个二次根式的大小: 1 6-2 > 1 5- 3 ; ③计算: 2 3+ 3 + 2 53+35 + 2 75+57 +…+ 2 99 97+97 99 =1- 3 3 ; ④对于式子 1 5- 2 ,对它的分子、分母同时乘 5- 2或 5或7-2 10,均不能对其分母有理化. A.①② B.②③ C.②④ D.①④ 拓展 2 ▶ 计算:1 2 + 1 2+ 4 + 1 4+ 6 + 1 6+ 8 +…+ 1 98+ 100 . | 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　八年级·下册　 15 拓展 3 ▶ 阅读下列材料: 我们在学习二次根式时,熟悉了分母有理化及其应用.其实,有一个类似的方法叫做“分子有理 化”:与分母有理化类似,分母和分子都乘以分子的有理化因式,从而消掉分子中的根式.比如: 7- 6= (7- 6)(7+ 6) 7+ 6 = 1 7+ 6 .分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小,也可以 用来处理一些二次根式