第5章 专题3 相交线与平行线中蕴含的数学思想-【深思维】2023-2024学年七年级下册数学重难题型专项训练（人教版）

| 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　七年级·下册　 19 专题 3 相交线与平行线中蕴含的数学思想 答案见 5页 A 金题试做｜经典好题，你来挑战 引例 /人教 P23习题 7变式 /　如图1,已知BE 平分∠ABD,DE 平分∠BDC,且∠EBD+∠EDB=90°. (1)求证:AB∥CD; (2)如图2,若射线BF,DF 分别在∠ABE,∠CDE 内部,且∠BFD=30°,当∠FBE=2∠ABF 时,求∠CDF ∠EDF 的值; (3)H 是直线CD 上一动点(不与点D 重合),BP 平分∠HBD 交直线CD 于点P.设∠EBP= x°,求∠BHD 的度数.(用含x 的式子表示) (引例图1) (引例图2) (引例备用图) 解析 (引例图1) (引例图2) (引例图3) (1)根据角平分线的定义,得∠ABD=2∠EBD,∠BDC=2∠EDB,然后可求出∠ABD+∠BDC=180°,根 据同旁内角互补,两直线平行即可证明; (2)分别过点E,F 作EP∥AB,FQ∥AB,得CD∥AB∥EP∥FQ,然后根据平行线的性质解答即可; (3)根据角平分线的定义,得∠ABD=2∠EBD,∠HBD=2∠PBD,然后分情况讨论:当点 H 在点D 的左 边时;当点 H 在点D 的右边时,表示出∠HBD 和∠ABH,从而得解. 解:(1)证明:∵BE 平分∠ABD,DE 平分∠BDC,∴∠ABD=2∠EBD,∠BDC=2∠EDB. ∵∠EBD+∠EDB=90°,∴∠ABD+∠BDC=2∠EBD+2∠EDB=2×90°=180°.∴AB∥CD. (2)如图1,分别过点E,F 作EP∥AB,FQ∥AB. ∵AB∥CD,∴CD∥AB∥EP∥FQ. ∴∠ABF=∠BFQ,∠DFQ=∠CDF,∠ABE=∠BEP,∠DEP=∠CDE. ∵∠ABE=∠EBD,∠CDE=∠EDB,∠EBD+∠EDB=90°, ∴∠ABE+∠CDE=90°,即∠BEP+∠DEP=∠BED=90°. ∵∠FBE=2∠ABF,∴∠BFQ=∠ABF= 1 3∠ABE= 1 3∠BEP. ∵∠BFD=30°,∴∠BFD= 1 3∠BED. ∵∠DFQ=∠BFD-∠BFQ= 1 3∠BED- 1 3∠BEP= 1 3 (∠BED-∠BEP)= 1 3∠DEP= 1 3∠CDE , ∴∠CDF= 1 3∠CDE ,即3∠CDF=∠CDE. ∴∠EDF=∠CDE-∠CDF=3∠CDF-∠CDF=2∠CDF. ∴ ∠CDF ∠EDF= ∠CDF 2∠CDF= 1 2. (3)∵BP 平分∠HBD,∴∠HBD=2∠HBP=2∠DBP. 如图2,当点 H 在点D 的左边时, ∵∠EBP=x°,∴∠HBP=∠DBP=∠EBD-∠EBP=∠ABE-x°. ∴∠HBD=2∠HBP=2∠ABE-2x°. ∴∠ABH=∠ABD-∠HBD=2∠ABE-(2∠ABE-2x°)=2x°. ∵AB∥CD,∴∠BHD=∠ABH=2x°. 如图3,当点 H 在点D 的右边时, ∵∠ABD=2∠EBD,∠DBH=2∠DBP,∠EBP=x°, ∴∠ABH=∠ABD+∠DBH=2∠EBD+2∠DBP=2∠EBP=2x°. ∵AB∥CD,∴∠BHD=180°-∠ABH=180°-2x°. 综上所述,∠BHD 的度数为2x°或180°-2x°. | 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　七年级·下册　 20 B 对点集训｜举一反三，吃透考点 变式 1 ▶ / 2023北京期末改编 /　已知AG 平分∠BAD,∠BAG=∠BGA,点E,F 分别在射线AD,BC 上运动, 满足∠AEF=∠B,连接EG. (1)如图1,当点F 在点G 的左侧时,求证:AB∥EF. 证明:∵AG 平分∠BAD,∴∠BAG=∠DAG( ). ∵∠BAG=∠BGA,∴ = (等量代换). ∴ ∥ ( ). ∴∠B+∠BAD=180°( ). ∵∠AEF=∠B,∴∠AEF+∠BAD=180°( ). ∴AB∥EF. (2)如图2,当点F 在点G 的右侧时,若∠B=4∠GEF+20°,GE 平分∠AGF,求∠AGE 的度数; (3)在射线BC 下方有一点 H,连接 AH,EH,满足∠BAH=2∠HAG,EH 平分∠FEG,若 ∠FEG=20°,∠BAG=60°,求∠AGE+∠AHE 的度数. (变式1图1) (变式1图2) (变式1备用图) | 深思维 | 深挖经典好题 训练解题思维　七年级·下册　 21 C 深度提升｜思维整合，融会贯通 拓展 1 ▶ 将一副直角三角尺的直角顶点C 按如图方式叠放在一起,其中∠A=60°,∠D=30°,∠E= ∠B=45°. (1)若∠