专题20截面问题（3知识点+4题型） -2023-2024学年高一数学阶段复习考点归纳总结突破练（人教A版2019必修第二册）

专题20：截面问题（3知识点+4题型） 截面问题 常考题型 相交法做截面 平行法做截面 正方体的截面形状的探究 题型一：截面的形状的判断 题型二：作截面图形 题型三：求截面的面积或体积 题型四：求截面的图形的周长 知识点一：正方体的截面形状的探究 通过尝试、归纳，有如下结论. (1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形. (2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四 边形中至少有一组对边平行. (3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是 正五边形. (4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形. 对应截面图形如图中各图形所示 知识点二：平行法做截面 用实例来解释平行法做截面：如下图E、F可以是几等分点，不影响作图。 可以先默认为中点，等学生完全理解了，再改成任意等分点。做出过三E,F,C1点的截面 平行线法特征： 有两点连线在表面：EF，在前侧面 方法如下： 1、 寻找C1点所在的与线EF的所在红色表面平行的面：里边侧面（绿色的） 2、 在这个面内，过C1做EF平行线，显然必须扩展这个面了。如第三图。 3、 注意！注意！，E与F分别在右侧面和下侧面上（红色面就不要用了） 4、 注意这仨面的相交棱， 5、 下边过C1做EF平行线，交这俩棱于K,L第二排图 6、 分别连FK与EL，交点为J与H。出截面，与第一种方法一致。 知识点三：相交法做截面 用实例来解释平行法做截面：如下图E、F可以是几等分点，不影响作图。 可以先默认为中点，等学生完全理解了，再改成任意等分点。做出过三E,F,C1点的截面 以“第三点”所在的表面中，，剔除掉与EF所在的表面平行，寻找合适的表面来做交线 如下图，符合的有c1的表面有三个，红色的和EF平行而不会相交，去掉，可供选择的是上表面（蓝色）或者右表面（绿色的）， 先用上表面（红色的）来做： 1、 所以，先补出扩展EF直线所在的前侧面。如左下第一图开始。并延长EF交A1B1于G 2、 此时G也在上表面了，连接GP，出来与棱A1D1交点H. 3、 连接HB，则的如右图的截面。 再用右表面绿色的来做： 1、 则发现，右边面和EF相交于前侧面下方，如左下第一图开始，延长EF交C1C于I 2、 此时I也在右表面了，连IC1交棱CB于J. 3、 连接FJ，则出右图的截面。 最终，两个合在一起，就是如图的截面。 题型一：截面的形状的判断 解题思路：熟悉(正方体的截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形. (2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四 边形中至少有一组对边平行. (3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边同时有两个角相等.截面五边形不可能是正五边形. (4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形. 例1．如图，已知分别是正方体的棱和的中点，由点确定的平面截该正方体所得截面为（　　） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 例2．在长方体中，、，、分别为棱、的中点，点在对角线上，且，过点、、作一个截面，该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 变式训练 3．（多选题）用一个平面去截一个几何体， 所得截面的形状是正方形， 则原来的几何体可能是（    ） A．长方体 B．圆台 C．四棱台 D．正四面体 4．正方体中，分别是的中点，则正方体的过的截面图形的形状是（    ） A．正方形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正六边形 5．在棱长为1的正方体中， 分别为，的中点，过直线 的平面//平面 ，则平面截该正方体所得截面为（    ） A．三角形 B．五边形 C．平行四边形 D．等腰梯形 6．（多选题）用一个平面去截正方体，则截面可能是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．正方形 D．正六边形 题型二：作截面图形 解题思路：主要是两种思路：通过平行法或者相交法画截面图形 例1．如图所示的正方体中，是棱上的一点，试说明、、三点确定的平面与平面相交，并画出这两个平面的交线. 例2．如图，正方体的棱长为8，，，分别是，，的中点． (1)画出过点，，的平面与平面的交线； (2)设平面，求的长． 变式训练 1．如图，在正方体中，是棱上一点，且． (1)试画出过三点的平面截正方体所得截面； (2)证明：平面与平面相交，并指出它们的交