专题21 等腰三角形的动点问题探究（压轴题，20题）-【尖子生培优】2023-2024学年七年级数学下学期重难点压轴题突破专练（沪教上海版）

专题21 等腰三角形的动点问题探究（压轴题，20题）（原卷版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，中，，D为线段上一动点（不与点重合），连接作，交线段于E，以下四个结论：①；②当D为中点时，；③当为等腰三角形时，；④当时，．其中正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在中，，平分，点是BC上的一动点，点是上一动点，连接，，若，，则的最小值是（    ）    A． B．6 C． D．10 3．如果，，点E，F分别是线段和上的动点，两点运动到某位置时，恰好使得，此时量得，，，则等于（    ） A．12° B．25° C．22° D．32° 二、填空题 4．如图，等边中，高，点E是线段上的一个动点，连接，在的下方作等边，，则当点E从点A运动到点M的过程中，点C与点F距离的最大值= ．    5．如图，在等腰中，，，是等边三角形，P是的平分线上一动点，连接，，则的最小值为 ．    6．如图，中，垂直于点，且，在直线上方有一动点满足，则点到两点距离之和最小时， 度．    三、解答题 7．如图，中，，D是上一个动点，于点F，交延长线于点E， (1)试判断的大小关系，并说明理由； (2)当点D在的延长线上时，其他条件不变，（1）中的结论是否还成立？请说明理由． 8．已知中，，，点为直线上的一动点点不与点、重合，以为边作，，，连接． (1)发现问题 如图，当点在边上时． 请写出和之间的数量关系为______，位置关系为______； 求证： (2)尝试探究 如图，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，不证明． (3)拓展延伸 如图，当点在的延长线上且其他条件不变时，若，，求线段的长． 9．如图，在中，，，是的一个动点，于点，于点． (1)当，且是的中点时，连接，求的度数； (2)若，，请求的值． 10．如图，已知等腰中，，，是边上一个动点，将沿折叠得到，与交于点，再将边折叠到与重合，折痕为，点在射线上． (1)如图，当时，求证：； (2)当时，的大小为______ ． 11．如图1，点，分别是等边边，上的动点（端点除外），点从顶点、点从顶点同时出发，且它们的运动速度相同，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图1，当点，分别在，边上运动时，变化吗？若变化，请说理由；若不变，求出它的度数； (3)如图2，若点，在分别运动到点和点后，继续在射线，上运动，直线，交点为，则______度．（直接填写度数）． 12．如图1，点P、Q分别是等边边上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同．连接交于点M．             (1)求证：； (2)当点P、Q分别在边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． (3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线上运动，直线交于点M，则和还全等吗？说明理由； 13．已知，在等边中，点D为射线上一点（点D与点B不重合），连接，以为边在上方作等边，连接． (1)如图1，当点D是边中点时，求的度数； (2)求证：； (3)如图2，当动点D在的延长线上时，以为边在其下方作等边，连接，求线段，，之间的等量关系式． 14．已知为等边三角形（三条边都相等，三个内角都为），点D为直线上的一动点（点D不与B、C重合），以为边作等边（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接．    (1)如图1，当点D在边上时，线段、的数量关系是______，线段，，的数量关系是______； (2)如图2，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，线段，，之间的数量关系是否仍然满足上面的结论？若不满足，请写出、、之间存在的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当点D在边BC的反向延长线上且其他条件不变时，直接写出、、之间存在的数量关系． 15．在中，三点、是逆时针顺序，，是边上的动点，，三点、、也是逆时针顺序，．    (1)当时，过点作，垂足为点． 如图，若点与点重合，则的度数为______ ； 如图，点到的距离等于______ ； A．线段的长  B．线段的长  C．线段的长 D．线段的长 (2)如图当时， 试说明：点到的距离等于线段的长； 连接交于点，试说明：． 16．已知中，，点D为直线BC上的动点（点D不与点B，C重合），以AD为边作，，连接CE．    （1）发现问题 如图1，当点D在边BC上时． ①请写出BD和CE之间的数量关系式为_________，位置关系为_________； ②求证：