专题8.2 空间几何体外接球压轴七种题型汇总-2023-2024学年高一数学下学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第二册）

专题8.2 空间几何体外接球压轴七种题型汇总 核心考点题型一 与长方体相关的几何体外接球问题 1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半． 3．补成长方体 （1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示． （2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示 图1 图2 图3 图4 （一）墙角模型（补成长方体） 找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出 【典例1】已知三棱柱的6个顶点都在球的球面上，且，，则球的半径为 （    ） A．5.5 B．6 C．6.5 D．7 【典例2】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知是球O表面上不同的点，平面，，，，若球的体积为，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式2】长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． （二）对棱相等模型（补成长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为，， ，， 列方程组，， 补充：图2-1中，. 第三步：根据墙角模型，，， ，求出. 【典例1】在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【例题2】已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】在四面体中，，，，则其外接球的表面积为 　　． 核心考点题型二 汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面； 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）； 第三步：勾股定理：，解出 【典例1】如图，直三棱柱的体积为，，，，则该三棱柱的外接球的表面积为 ． 【典例2】若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有定点都在一个球的面上，则此球的体积是___________． 【变式1】如图，在直三棱柱中，为等边三角形，，，则三棱柱的外接球的表面积为 . 核心考点题型三 垂面模型（一条直线垂直于一个平面） 如图，平面，求外接球半径． 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；②． 技巧： 若底面是等边三角形的三棱锥（柱）： 若底面是等腰直角三角形的三棱锥（柱）： 若底面是直角三角形的三棱锥（柱）： 【典例1】三棱锥中，平面，为等边三角形，且，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，，，若该三棱柱的各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于（    ）． A． B． C． D． 【典例3】已知三棱锥外接球的直径为，，，若三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为 . 【变式1】（2023·江苏南京高三统考期末）在三棱锥中，面，为等边三角形，且，则三棱锥的外接球的表面积为 ． 【变式2】（2023·陕西榆林高三统考期末）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【变式3】（2023·四川成都七中高三校考检测）已知三棱锥，其中平面，则三棱锥外接球的表面积为 . 核心考点题型四 切瓜模型（面面垂直） 1.如图4-1，平面平面，且（即为小圆的直径），且的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点. 解题步骤： 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线； 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）； 第三步：勾股定理：，解出；1． 事实上，的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出. 2．如图4-2，平面平面