专题19.7 平行四边形中的最值问题（压轴题专项讲练）-2023-2024学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（沪科版）

专题19.7 平行四边形中的最值问题 · 思维方法 正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。 逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。 分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则： 1. 不重（互斥性）不漏（完备性）； 2. 按同一标准划分（同一性）； 3. 逐级分类（逐级性）。 · 典例分析 【典例1】如图，菱形中，，，点P为边上任意一点（不包括端点），连结，过点P作边点Q，点R线段上的一点．    （1）若点R为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值； （2）当的值最小时，请确定点R的位置，并求出 的最小值； （3）当的值最小时，在备用图中作出此时点P，Q的位置，写作法并写出的最小值． 【思路点拨】 （1）由菱形的性质可得，均为等边三角形，点为的中点，连接，，利用三角形中位线定理即可求解； （2）由题可知，，为等边三角形，由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点作垂直于的直线交于，交于，可得，可得，则点为中点，利用含的直角三角形可得，，由三角形三边关系及垂线段最短可知，当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号， 即当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值； （3）同（2），与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，连接，交于点，由（2）可得点为中点，作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则，由对称可知：，则，当，，，在同一条直线上时取等号，此时点为中点，可知，为等边三角形，进而即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，则，均为等边三角形， ∴， ∵点为菱形对角线的交点， ∴点为的中点， 连接，， ∵为的中位线， ∴，也为的中位线， 则，， ∴； （2）由（1）可知，均为等边三角形， 则， ∵， ∴，则为等边三角形， ∴，则， 由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点作垂直于的直线交于，交于，    ∵，则， 又∵， ∴， ∴，则点为中点， ∵，， ∴， ∴，，由勾股定理可得：，， ∴， ∵， ∴，当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号，即：与点重合（点为中点），与重合时取等号， 综上，当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值； （3）同（2），与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，连接，交于点，由（2）可得点为中点， 作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则， ∵为等边三角形， ∴，由对称可知：，   则，当，，，在同一条直线上时取等号， 此时点为中点，    ∵，则 ∴过点（点），且， 可知，为等边三角形，，，，即，，，分别为，，的中点， ∴此时， 作图，如下：    作法：取的中点为，作交于； 综上，的最小值为6． · 学霸必刷 1．（23-24八年级下·江苏泰州·期中）如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为边上两个动点，且，则四边形周长的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在矩形中，，．点E在边上，且，M，N分别是边、上的动点，P是线段上的动点，连接，，使．当的值最小时，线段的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．（23-24九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是（   ）    A． B． C． D．2 4．（23-24九年级下·安徽合肥·期中）如图，在长方形中，，，点P在线段（包括端点）上运动，以线段为边，向右侧作正，连接．下列结论正确的是（    ） A．当点P与点A重合时，最小 B．当点P与点D重合时，最小 C．当最小时，A、E、C三点共线 D．当最小时， 5．（2023·辽宁盘锦·模拟预测）如图，在矩形中，对角线相交于点O，，点E是上一动点，点P是的中点，连接，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 6．（23-24八年级下·河南周口·期中）如图，在菱形中，E，F分别是边上的动点，P是对角线上的动点，且．若，，则的最小值是（    ）    A．2 B．3 C．4 D． 7．（22-23八年级下·山东泰安·期末）如图，菱形的边长为4，且，是的中点