安徽省宿州市省、市示范高中2023-2024学年高二下学期期中教学质量检测数学试题

宿州市省、市示范高中2023-2024学年度第二学期期中教学质量检测

高二数学试卷（人教版）

（时间：120分钟  满分：150分）

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 曲线在点处的切线的倾斜角为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知数列为等比数列，则“公比”是“为递增数列”的（    ）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件

4. （    ）

A.  B.  C.  D.

5. 已知等比数列中，，等差数列中，，则数列的前项和等于

A.  B.  C.  D.

6. 已知圆C：，直线：，则直线与圆C的位置关系为（    ）

A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定

7. 作为泗县地方传统美食之一，传承百余年的“刘圩大饼”，其制作技艺已被列入宿州市非物质文化遗产，深受广大群众的喜爱，远近闻名，是泗县饮食文化的一张亮丽名片.用一个传统的饼铛烙饼，每次饼铛上最多只能同时放两张大饼，烙熟一张大饼需要8分钟的时间，其中每烙熟一面需要4分钟.那么要烙熟5张大饼，至少需要（    ）

A. 16分钟 B. 20分钟 C. 24分钟 D. 40分钟

8. 已知，，（e为自然对数的底数），则实数的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 在平面直角坐标系中，曲线C上任意点P与两个定点和点连线的斜率之积等于2，则关于曲线C的结论正确的有（    ）

A. 曲线C为双曲线 B. 曲线C是中心对称图形

C. 曲线C上所有的点都在圆外 D. 曲线C是轴对称图形

10. 已知随机变量服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即，则下列说法正确的有（    ）

A.  B.

C. 在上是减函数 D.

11. 已知数列满足，，则（    ）

A. 可以是3 B. 可以是等比数列

C. 的最小值为0 D. 可以是周期数列

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12. 已知随机变量，，则_______.

13. 已知是的导函数，且，则_______.

14. 2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果.古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线.用垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支（把圆锥面换成相应的二次锥面时，则可得到双曲线）.现用一个垂直于母线的平面去截一个等边圆锥（轴截面为等边三角形），则所得的圆锥曲线的离心率为_______.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. 过抛物线的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，已知.

（1）求抛物线的方程；

（2）O为坐标原点，求的面积.

16. 已知数列为等差数列，且，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为，求证：.

17. 如图，圆台上底面圆的半径为，下底面圆的半径为2，为圆台下底面的一条直径，圆上点C满足，是圆台上底面的一条半径，点P，C在平面的同侧，且.

 

（1）证明：平面平面；

（2）若圆台的高为2，求直线与平面所成角的正弦值.

18. 某校高二年级数学竞赛选拔赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格.高二某班派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是、，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是、，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响.

（1）若该班获得决赛资格的同学个数为X，求X的分布列和数学期望；

（2）已知甲和乙都获得了决赛资格. 决赛的规则如下：将问题放入A，B两个纸箱中，A箱中有3道选择题和3道填空题，B箱中有4道选择题和4道填空题. 决赛中要求每位参赛同学在A，B两个纸箱中随机抽取两题作答. 甲先从A箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入B箱中，然后乙再从B箱中抽取题目.

①求乙从B箱中抽取的第一题是选择题的概率；

②已知乙从B箱中抽取的第一题是选择题，求甲从A箱中抽出的是2道选择题的概率.

19. 已知函数.