第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性(含新定义解答题）(分层精练）-【高考新结构一轮复习】备战2025年高考数学一轮复习精讲精练（知识·题型·分层练，新高考专用）

第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性 (分层精练） A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题） A夯实基础 一、单选题 1．（2024上·山西运城·高三统考期末）已知是奇函数，则（   ） A． B． C．2 D．1 2．（2024下·上海·高一开学考试）已知函数，且，那么等于（    ） A． B． C．6 D．10 3．（2023下·江西赣州·高一校联考期末）已知定义在上的函数满足，且当时，，则（    ） A．2 B．0 C．1 D． 4．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）函数是定义在R上奇函数，且，，则（    ） A．0 B． C．2 D．1 5．（2023上·山东烟台·高一校考期末）函数与的图象（   ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 6．（2023上·湖南长沙·高二雅礼中学校考阶段练习）函数与函数图象关于直线对称，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 7．（2024下·浙江·高三杭州高级中学校联考开学考试）已知是奇函数，则常数（    ） A． B． C． D． 8．（2023上·广东潮州·高一饶平县第二中学校考期中）已知函数满足，且在上是增函数，则，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2023上·湖北咸宁·高一校考阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，对任意实数，恒有成立，且，则下列说法正确的是（    ） A．是函数的一个对称中心 B． C． D． 10．（2023上·甘肃白银·高一甘肃省靖远县第一中学校考期末）已知函数对于任意实数，都有成立，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数的图象关于直线轴对称 C． D． 三、填空题 11．（2024下·浙江·高三校联考开学考试）已知函数是奇函数，则 . 12．（2024上·云南昆明·高一统考期末）定义在上的奇函数满足，且，则 ． 四、解答题 13．（2024上·福建·高一福建师大附中校考期末）已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)求不等式的解集. 14．（2023·全国·高一随堂练习）函数是周期为2的周期函数，且，． (1)画出函数在区间上的图象，并求其单调区间、零点、最大值、最小值； (2)求的值； (3)求在区间上的解析式，其中． B能力提升 1．（2024上·江西·高二校联考期末）若函数（）是偶函数，则（    ） A．2023 B．2024 C．2 D． 2．（2024上·湖北·高一校联考期末）已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024上·重庆·高一重庆市青木关中学校校考期末）若，当时，，则 . 4．（2024上·河北石家庄·高一石家庄外国语学校校考期末）已知函数的定义域为，满足，的图象关于直线对称，且，则 ； ． C综合素养 5．（2024上·湖南长沙·高一统考期末）如果函数的定义域为，且存在常数，使得对定义域内的任意，都有恒成立，那么称此函数具有“性质”． (1)已知具有“性质”，且当时，，求的解析式及在上的最大值； (2)已知定义在上的函数具有“性质”，当时，．若有8个不同的实数解，求实数的取值范围． 6．（2023上·山东青岛·高一青岛市即墨区第一中学校考阶段练习）对于定义在上的函数和正实数若对任意，有，则为阶梯函数. (1)分别判断下列函数是否为阶梯函数（直接写出结论）： ①； ②. (2)若为阶梯函数，求的所有可能取值； (3)已知为阶梯函数，满足：在上单调递减，且对任意，有.若函数有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为；若时，证明：存在，使得在上有4046个零点，且. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性 (分层精练） A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题） A夯实基础 一、单选题 1．（2024上·山西运城·高三统考期末）已知是奇函数，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据得到方程，求出. 【详解】由题意得，即， 所以，故， 所以，解得. 故选：C 2．（2024下·上海·高一开学考试）已知函数，且，那么等于（    ） A． B． C．6 D．10 【答案】C 【分析】令，由可得答案. 【详解】， 令， 则， 即，可得， 即. 故选：C． 3．（2023下·江西赣州·高一校联考期末）已知定义在上的函数满足，且当时，，则（    ） A．2 B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】通过对已知条件的转化，得出函数是周期函数.利用函数周期性转化求值即可. 【详解】因为，所以，且， 则，又可得，， 故，所以函数是周期的周期函数， ． 故选：D．