第5章 导数及其应用（单元提升卷）-2023-2024学年高二下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020选修一+选修二）

第5章 导数及其应用（单元提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分， 1．已知函数，则函数的单调递增区间为　 　． 2．如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的匀速往杯中注水，当水深为时，酒杯中水升高的瞬时变化率　　． 3．函数有一条斜率为2的切线，则切点的坐标为 　　． 4．已知函数，其中，则曲线在点，处的切线方程为 　　． 5．已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式．若对，不等式恒成立，则的取值范围是 　　． 6．已知实数满足：①，；②存在实数，，使得，，是等差数列，，，也是等差数列．则实数的取值范围是 　　． 7．已知、为实数，函数在处的切线方程为，则的值 　　． 8．函数在区间，上的最大值是 　　． 9．已知函数，其导函数的图像经过点、．如图，则下列说法正确的是 　　． ①当时，函数取得最小值； ②有两个极值点； ③当时函数取得极小值； ④当时函数取得极大值． 10．若曲线的切线的倾斜角的取值范围是，则　　． 11．设点在曲线上，点在直线上，平面上一点满足，则到坐标原点的距离的最小值为 　　． 12．如图，两条足够长且互相垂直的轨道、相交于点，一根长度为8的直杆的两端点、分别在、上滑动、两点不与点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点满足，则面积的取值范围是 　　． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5分。 13．如图，已知直线与函数，的图像相切于两点，则函数有　　 A．2个极大值点，1个极小值点 B．3个极大值点，2个极小值点 C．2个极大值点，无极小值点 D．3个极大值点，无极小值点 14．设，有如下两个命题： ①函数的图像与圆有且只有两个公共点； ②存在唯一的正方形，其四个顶点都在函数的图像上． 则下列说法正确的是　　 A．①正确，②正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①不正确，②不正确 15．已知，函数在点，，2，处的切线均经过坐标原点，则　　 A． B． C． D． 16．已知函数为定义在上的单调连续函数，（1），函数，有以下两个命题：①存在函数使得为函数的极大值点；②若对任意恒成立，则（2）．则　　 A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 三、解答题（本大题共有5题78分，17-19题每题14分，20/21每题18分），解答下列各题必须写出必要的步骤。 17．已知函数． （1）求函数在点处的切线方程； （2）求的最小值； 18．已知函数的表达式为． （1）当时，证明； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）若对恒成立，求实数的取值范围． 19．已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）若是增函数，求的取值范围； （Ⅲ）证明：有最小值，且最小值小于（1）． 20．已知． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数存在两个不同的极值点，，求证：； （3）若，，数列满足，．求证：当时，． 21．若函数的图像上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图像的“自公切线”，称这两点为函数的图像的一对“同切点”． （1）分别判断函数与的图像是否存在“自公切线”，并说明理由； （2）若，求证：函数有唯一零点且该函数的图像不存在“自公切线”； （3）设，的零点为，，求证：“存在，使得点与是函数的图像的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 导数及其应用（单元提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分， 1．已知函数，则函数的单调递增区间为　　． 【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可． 【解答】解：的定义域是， ， 令，即，解得：， 故在递增， 故答案为：． 【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题． 2．如图，某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的匀速往杯中注水，当水深为时，酒杯中水升高的瞬时变化率　　． 【分析】由导数物理意义，结合变化的快慢与变化率及求导公式求解即可． 【解答】解：由题意，设时刻水面高为，水面圆半径为， 则， 即， 则此时水的体积为， 又以的匀速往杯中注水， 则此时水的体积为， 即， 即， 即， 又当水深为时， 即时，， 则， 即酒杯中水升高的瞬时变化率， 故答案为：． 【点评】本题考查了导数物理意义，