第4章 数列（单元提升卷）-2023-2024学年高二下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020选修一+选修二）

第4章 数列（单元提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分， 1．等差数列的公差，其前项和为，若，则，2，3，，中，不同的数值有 　　个． 2．将循环小数化为分数：　　． 3．设公差不为零的等差数列的前项和为，若，则　　． 4．已知等比数列的公比，则　　． 5．已知数列是等比数列，且，，则　　． 6．在无穷等比数列中，，则的取值范围是 　　． 7．若用数学归纳法证明成立，正整数的第一个取值为 　　． 8．若等比数列的前项和，则　　． 9．在等差数列中，已知，，则　　． 10．数列是首项为，公比为的无穷等比数列，且，则　　． 11．记为等比数列的前项和，若，，则　　． 12．已知数列是给定的等差数列，其前项和为，若，且当与时，，，取得最大值，则的值为 　　． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5分。 13．设为是首项为，公比为的等比数列的前项和，且，则　　 A． B． C． D． 14．设数列的前项和为，若存在非零常数，使得对任意正整数，都有，则称数列具有性质 ①存在等差数列具有性质； ②不存在等比数列具有性质； 对于以上两个命题，下列判断正确的是　　 A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假 15．数列中，是其前项的和，若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称数列为“某数列”．现有如下两个命题： ①等比数列为“某数列”； ②对任意的等差数列，总存在两个“某数列” 和，使得． 则下列选项中正确的是　　 A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 16．设数列的前项和为，若对任意的，都是数列中的项，则称数列为“数列”．对于命题： ①存在“数列” ，使得数列为公比不为1的等比数列； ②对于任意的实数，都存在实数，使得以为首项、为公差的等差数列为“数列”．下列判断正确的是　　 A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 三、解答题（本大题共有5题78分，17-19题每题14分，20/21每题18分），解答下列各题必须写出必要的步骤。 17．已知数列是首项为23，公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）设的前项和为，求的最大值． 18．已知是等比数列，，公比，若． （1）求的值； （2）设是的前项和，求． 19．已知等差数列的前项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）试求出所有的正整数，使得对任意正整数，均有． 20．已知数列的前项和为，，对任意的正整数，点，均在函数图像上． （1）证明：数列是等比数列； （2）问中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由． 21．已知无穷数列，对于任意给定的正整数，设不等式对任意恒成立时的取值集合为． （1），求集合（2）； （2）若为等差数列，公差为，求； （3）若对任意，，均为相同的单元素集合，证明：数列为等差数列． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 数列（单元提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分， 1．等差数列的公差，其前项和为，若，则，2，3，，中，不同的数值有 　2020　个． 【分析】根据给定条件，求出与的关系，再利用前项和公式，结合二次函数对称性求解能求出结果． 【解答】解：等差数列的公差，其前项和为，， 依题意，解得， ，，， 二次函数图象的对称轴为， 则在的2024个数值中，，，，， ，2，3，，中，不同的数值有2020个． 故答案为：2020． 【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．将循环小数化为分数：　　． 【分析】借助于无穷等比数列的前项和公式，即可求解． 【解答】解：．．．， 所以可以看成以0.36为首项，0.01为公比的无穷等比数列的前项的和， 即． 故答案为：． 【点评】本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．设公差不为零的等差数列的前项和为，若，则　5　． 【分析】利用等差数列前项和前项公式能求出结果． 【解答】解：公差不为零的等差数列的前项和为，， ， 解得． 故答案为：5． 【点评】本题考查等差数列前项和前项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4．已知等比数列的公比，则　10　． 【分析】利用等比数列的性质直接求解． 【解答】解：等比数列的公比， 则． 故答案为：10． 【点评】本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．已知数