2024年中考数学专题复习讲义-隐圆

隐圆 1.何为隐圆？ 有些数学问题，将圆隐藏在已知条件里，隐晦地考查点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系．隐圆本质上是一个描述了圆所经历的变换的数学表达式，它提供了一种从直线到圆的无缝过渡. 2.隐圆的常见模型 （1）定点定长模型 圆的定义是到定点的距离为定值的点的集合.所以，如果一个动点到一个定点的距离等于一个定值，则该动点在以定点为圆心，距离定值为半径的圆上. （2）定弦定角模型 由圆周角定理的推论可知，同弧或者等弧所对的弦相等，圆周角也相等。所以，如果一个动点运动过程中，保持与线段两端形成的夹角不变，且线段长度也不变，则在以为弦的圆上. ①若，则为隐圆的直径，中点为隐圆圆心. ②若，则需利用圆周角定义确定所对圆心角的度数，进一步利用三角函数与勾股定理确定隐圆的圆心与半径. 秒杀公式：（为隐圆圆心） （3）四点共圆模型 ①若能找到一点到四点距离相同，则这四点在以为圆心，的隐圆上. ②由圆的内接四边形定理，可知圆的内接四边形对角互补。所以如果四点构成的四边形对角互补，则这四点共圆. 3.利用隐圆求最值的常见方法 （1）圆上一动点到圆外一定点的距离最值（两点之间线段最短） 若点为上一动点，点为圆外一定点，半径为，则，. （2）圆上一动点到圆外一定直线的距离最值（点到直线的所有线段中垂线段最短） 若点为上一动点，为圆外一定直线，半径为，点到直线的距离为，点到直线的距离为，则，. 4.解决隐圆问题的步骤 （1）确定隐圆模型； （2）确定隐圆圆心和半径； （3）利用“两点之间线段最短”或“点到直线的所有线段中垂线段最短”解决最值问题. 考向一 定点定长模型 1．如图，中，，，，线段的两个端点、分别在边，上滑动，且，若点、分别是、的中点，则的最小值为　　 A． B． C． D．3 2．已知边长为的正三角形，两顶点、分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上滑动，点在第一象限，连接，则的长的最大值是　 　． 3．如图，矩形中，，，点，分别是，边上的两个动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接、，则的最小值为　　． 4．如图，在矩形中，，，是边的中点，是线段边上的动点，将沿所在直线折叠得到△，连接，则的最小值是　　． 5．如图，在边长为4的菱形中，，是边的中点，点是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到△，连接，则线段长度的最小值是　　． 6．如图，在中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是　　 A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不对 7．如图，在矩形中，，，是边的中点，是线段边上的动点，将沿所在直线折叠得到△，连接，则的最小值是　　． 8．如图，在边长为4的菱形中，，是边的中点，点是边上一动点，将沿所在的直线翻折得到△，连接，则线段长度的最小值是　　． 9．如图，在中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是　　 A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不对 10．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到△，连接，则长度的最小值是　 　． 2．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF、PD，则PF+PD的最小值是_________． 考向二 定弦定角模型 1．如图，在圆中，半径，弦，点是劣弧上的一个动点，连接，作，垂足为．在点移动的过程中，线段的最小值是　　 A．6 B．7 C．8 D．9 2．如图，在中，，，，为边上的一个动点，连接，为上的一个动点，连接，，当时，线段的最小值是　　 A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，连接，则线段长的最小值为　　． 4．如图，已知的半径为3，圆外一定点满足，点为上一动点，经过点的直线上有两点、，且，，不经过点，则的最小值为　 　． 5．（2024.荔湾九年级上期末）如图，在中，，，，点是边上的一动点，连接，作于点，连接，则的最小值为 ． 6．如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为 　　． 7．如图，为等边三角形，．若为内一动点，且满足，则线段长度的最小值为　　． 8．在中，，，．点为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为 　　． 9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为_________． 10. 如图，等边△ABC边长为2，E、F分别是BC、CA上两个动点，且BE=CF，连接AE、BF，交点为P点，则CP的最小值为________． 11．如图