专题07空间中的平行问题八个重难点归类-2023-2024学年高一数学下学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第二册）

专题07空间中的平行问题 一、基本事实4与等角定理 1.基本事实4 ①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． ②符号表述：，作用：证明两条直线平行 2.等角定理 ①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． ②符号语言：,或 等角定理的两个推论： （1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 作用：判断和证明两个角相等或互补。 3.空间四边形 顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形． 这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点； 所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边； 连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线． 二、直线与平面平行 1．直线与平面的位置关系 叙述 位置关系 记法 一条直线a与平面α有两个不同的公共点 直线在平面内 直线a与平面α只有一个公共点A 直线与平面相交 一条直线a与平面α没有公共点 直线与平面平行 2．直线与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线平行线面平行 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 3．直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 三、平面与平面平行 1．平面与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行面面平行 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 2．平面与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面平行线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 3.其余推论 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面． ②夹在两个平行平面间的平行线段相等． ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 【重难点01平行的传递性】 例1．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB=AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是 . 例2．如图，四边形和四边形都是梯形，且，且，，分别为的中点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)四点是否共面？为什么？ 证明空间两条直线平行的常用方法：利用平面几何法，有三角形中位线、平行四边形的性质等，再利用平行的传递性即可证明 【跟踪练习】 练习1．如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行． 练习2．已知棱长为的正方体中，，分别为，的中点．求证：四边形是梯形． 练习3．已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，若， 证明:四边形EFGH为梯形. 练习4．如图，三棱柱中，，，分别为，，的中点.求证：. 【重难点02判断有关平行的命题】 例3．如果直线与平面满足，则必有（　　） A． B． C．且 D．或 例4．（多选）设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，则下列四个命题正确的为（　　） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 根据线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行判断即可 【跟踪练习】 练习1．已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 练习2．设，为两个平面，则的充要条件是（    ） A．内有两条直线与平行 B．内有无数条直线与平行 C．，平行于同一条直线 D．内有两条相交直线与平行 练习3．设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，则 练习4．已知a，b，c为三条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 【重难点03线面平行的判定定理】 例5．三棱台中，若面，分别是中点. 求证：//平面. 例6．如图，直三棱柱所有的棱长都为1，，分别为和的中点．    (1)证明：平面． (2)求三棱锥的体积． 利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤：①在平面内找到或作出一条与已知直线平行的直线；②证明已知直线平行于