第42期 4.5一次函数的应用（答案见44期）-【数理报】2023-2024学年八年级下册数学学案（湘教版）

书 一、求定值 例１　若以二元一次方程ｘ＋３ｙ＝ｂ的解为坐标的 点（ｘ，ｙ）都在直线ｙ＝－１３ｘ＋ｂ－１上，则常数ｂ的值为 ． 分析：根据二元一次方程和直线的函数表达式联立 解答即可． 解：根据直线ｙ＝－１３ｘ＋ｂ－１，得３ｙ＝－ｘ＋３ｂ－ ３，即３ｙ＋ｘ＝３ｂ－３． 因为以二元一次方程 ｘ＋３ｙ＝ｂ的解为坐标的点 （ｘ，ｙ）都在直线ｙ＝－１３ｘ＋ｂ－１上，所以ｂ＝３ｂ－３． 解得ｂ＝ ３２． 故填 ３ ２． 二、求取值范围 例２　如图，已知一次函数ｙ１ ＝－ｘ＋ｍ－３（ｍ为常数）和ｙ２ ＝ ２ｘ－６． （１）若一次函数ｙ１ ＝－ｘ＋ｍ －３的图象与ｘ轴的交点在ｙ轴右 侧，求ｍ的取值范围； （２）当ｘ＜３时，ｙ１ ＞ｙ２，结合图象，直接写出ｍ的 取值范围． 分析：根据题意结合图象列出不等式即可得解． 解：（１）对于ｙ１＝－ｘ＋ｍ－３，当ｙ＝０时，ｘ＝ｍ－ ３． 因为一次函数ｙ１＝－ｘ＋ｍ－３的图象与ｘ轴的交点 在ｙ轴右侧， 所以ｍ－３＞０． 解得ｍ＞３． （２）解 －ｘ＋ｍ－３＝２ｘ－６，得ｘ＝ｍ＋３３ ． 所以ｙ１ ＝－ｘ＋ｍ－３和ｙ２＝２ｘ－６交点的横坐标 为 ｍ＋３ ３ ． 因为当ｘ＜３时，ｙ１ ＞ｙ２， 所以 ｍ＋３ ３ ≥３． 解得ｍ≥６． 已知一次函数ｙ１＝ｘ＋２与ｙ２＝－ｘ＋ｂ（ｂ为常数）， 当ｘ＜１时，ｙ１ ＜ｙ２，则ｂ的取值范围是 ． 书 任何一个一元一次方 程都能写为 ｋｘ＋ｂ＝０（ｋ ≠０）的形式，其左边恰是 一次函数 ｙ＝ｋｘ＋ｂ的形 式．解这个方程，从函数值 的角度考虑，就是函数值为 ０时求自变量为何值；从函 数图象的角度考虑，就是确 定直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ与ｘ轴的 交点的横坐标． 一、根据一元一次方程 的解确定函数图象 例１　已知方程ｋｘ＋ｂ ＝０的解是ｘ＝３，则ｙ＝ｋｘ ＋ｂ的图象可能是 （　　） 解：因为方程ｋｘ＋ｂ＝０的解是ｘ＝３， 所以ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象经过点（３，０）． 故选Ｃ． 二、根据函数图象确定一元一次方程的解 例２　 数形结合是解决数 学问题常用的思想方法．如图 １，直线ｙ＝ｘ＋５和直线ｙ＝ａｘ ＋ｂ相交于点Ｐ，根据图象可知， 方程ｘ＋５＝ａｘ＋ｂ的解是 （　　） Ａ．ｘ＝２０ Ｂ．ｘ＝５ Ｃ．ｘ＝２５ Ｄ．ｘ＝１５ 解：因为直线ｙ＝ｘ＋５和直线ｙ＝ａｘ＋ｂ相交于点 Ｐ（２０，２５）， 所以方程ｘ＋５＝ａｘ＋ｂ的解为ｘ＝２０． 故选Ａ． 例３　如图２，直线 ｙ＝２ｘ 与ｙ＝ｋｘ＋ｂ相交于点Ｐ（ｍ，２）， 则关于ｘ的方程ｋｘ＋ｂ＝２的解 是 （　　） Ａ．ｘ＝ １２ Ｂ．ｘ＝１ Ｃ．ｘ＝２ Ｄ．ｘ＝４ 解：因为直线ｙ＝２ｘ与ｙ＝ｋｘ＋ｂ相交于点Ｐ（ｍ， ２），所以２ｍ＝２． 解得ｍ＝１． 所以关于ｘ的方程ｋｘ＋ｂ＝２的解是ｘ＝１． 故选Ｂ． 三、根据图象的交点求一次函数的表达式 例４　已知关于ｘ的一元一次方程ｋｘ＋ｂ＝０的解 是ｘ＝－２，一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象与ｙ轴交于点（０， ２），则这个一次函数的表达式是 ． 解：因为一元一次方程ｋｘ＋ｂ＝０的解是ｘ＝－２， 所以一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象经过点（－２，０）． 因为一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象与ｙ轴交于点（０， ２），所以 －２ｋ＋ｂ＝０， ｂ＝２{ ． 解得 ｋ＝１， ｂ＝２{ ． 所以这个一次函数的表达式为ｙ＝ｘ＋２． 故填ｙ＝ｘ＋２． 书 一、根据图象的交点直接写出二元一次方程组的解 例１　如图１，在平面直角坐标 系中，直线 ｙ＝２ｘ＋ｂ与直线 ｙ＝ －３ｘ＋６相交于点Ａ，则关于 ｘ，ｙ的 二元一次方程组 ｙ＝２ｘ＋ｂ， ｙ＝－３ｘ＋{ ６的解 是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ａ． ｘ＝２， ｙ＝{ ０ Ｂ． ｘ＝１， ｙ＝{ ３ Ｃ． ｘ＝－１， ｙ＝{ ９ Ｄ． ｘ＝３， ｙ＝{ １ 解：由图象可得直线ｙ＝２ｘ＋ｂ和直线ｙ＝－３ｘ＋６ 的交点坐标是（１，３）． 所以关于ｘ，ｙ的二元一次方程组 ｙ＝２ｘ＋ｂ， ｙ＝－３ｘ＋{ ６的解 是 ｘ＝１， ｙ＝３{ ． 故选Ｂ． 二、根据二元一次方程组的解确定一次函数图象的 交点 例 ２　 已 知 关 于 ｘ，ｙ的 二 元 一 次 方 程 组 ｙ＝－ｘ＋ｂ， ｙ＝－３ｘ＋{ ２的解是 ｘ＝－１， ｙ＝ｍ{ ，则直线 ｙ＝－ｘ＋ｂ与 ｙ ＝－３ｘ＋２的交点在 （　　） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 解： 因 为 关 于 ｘ，ｙ的 二 元 一 次 方 程 组 ｙ＝－ｘ＋ｂ， ｙ＝－３ｘ＋{ ２的解是 ｘ＝－１， ｙ＝ｍ{ ， 所以将 ｘ＝－１，{ｙ＝ｍ 代入ｙ＝－３ｘ＋２，得ｍ＝５． 所以直线ｙ＝－ｘ＋ｂ与ｙ＝－３ｘ＋２的交点坐标是 （－１，５）． 因为 －１＜０，５＞０，所以交点在第二象限． 故选Ｂ． 三、根据图象的交点确定对应的二元一次