第41期 4.2一次函数-4.4用特定系数法确定一次函数表达式（答案见下期）-【数理报】2023-2024学年八年级下册数学学案（湘教版）

书 有些与一次函数有关的数学问题，在题目给定的条 件下，其答案有两种或两种以上的结果，解决这类问题 时，许多同学往往因忽视某种情况而导致以偏概全．本 文列举数例，供同学们参考学习． 例１　已知函数ｙ＝（ｍ－２）ｘｍ２－３＋ｎ＋２（ｍ，ｎ是 常数）是正比例函数，则ｍ＋ｎ的值为 （　　） Ａ．－４或０　　 Ｂ．±２　 　Ｃ．０ 　　Ｄ．－４ 解：因为函数ｙ＝（ｍ－２）ｘｍ２－３＋ｎ＋２（ｍ，ｎ是常 数）是正比例函数，所以ｍ２－３＝１，ｍ－２≠０，ｎ＋２＝ ０．解得ｍ＝±２，ｍ≠２，ｎ＝－２．所以ｍ＝－２，ｎ＝－２． 所以ｍ＋ｎ＝－４． 故选Ｄ． 例２　一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）满足当 －１≤ｘ ≤２时，－２≤ｙ≤１，求这条直线的函数表达式． 解：①当ｙ随着ｘ的增大而增大时，点（－１，－２）， （２，１）在直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ上．所以 －ｋ＋ｂ＝－２， ２ｋ＋ｂ＝１{ ． 解得 ｋ＝１， ｂ＝－１{ ．所以这条直线的函数表达式为ｙ＝ｘ－１． ②当ｙ随着 ｘ的增大而减小时，点（－１，１），（２， －２）在直线 ｙ＝ｋｘ＋ｂ上．所以 －ｋ＋ｂ＝１， ２ｋ＋ｂ＝－２{ ．解得 ｋ＝－１， ｂ＝０{ ．所以这条直线的函数表达式为ｙ＝－ｘ． 综上可知，这条直线的函数表达式为ｙ＝ｘ－１或ｙ ＝－ｘ． 例３　如右图，直线ｙ＝２ｘ＋３ 与ｘ轴交于点Ａ，与ｙ轴交于点Ｂ． （１）求Ａ，Ｂ两点的坐标； （２）过Ｂ点作直线ＢＰ与ｘ轴 交于点 Ｐ，且使 ＯＰ ＝２ＯＡ，求 △ＡＢＰ的面积． 解：（１）对于ｙ＝２ｘ＋３，令ｙ＝０，得２ｘ＋３＝０．解 得ｘ＝－３２．所以Ａ点坐标为（－ ３ ２，０）．令ｘ＝０，得ｙ＝ ３．所以Ｂ点坐标为（０，３）． （２）因为ＯＰ＝２ＯＡ，Ａ（－３２，０），所以ＯＰ＝３． ①当点Ｐ在点Ａ的左边时，Ｐ点坐标为（－３，０），所 以Ｓ△ＡＢＰ ＝ １ ２×（３－ ３ ２）×３＝ ９ ４； ②当点Ｐ在点Ａ的右边时，Ｐ点坐标为（３，０），所以 Ｓ△ＡＢＰ ＝ １ ２×（３＋ ３ ２）×３＝ ２７ ４． 综上可知，△ＡＢＰ的面积为 ９４或 ２７ ４． 书 最值问题立足于图形变换的基础上，通过一次函数 的图象确定最值点，增强数学意识． 例１　如图１，直线ｙ１＝ｘ＋３ 分别与ｘ轴、ｙ轴交于点Ａ和点Ｃ， 直线ｙ２ ＝－ｘ＋３分别与ｘ轴、ｙ轴 交于点 Ｂ和点 Ｃ，点 Ｐ（ｍ，２）是 △ＡＢＣ内部（包括边上）的一点， 则ｍ的最大值与最小值之差为 （　　） Ａ．１　　　　Ｂ．２　　　　Ｃ．４　　　　Ｄ．６ 解：因为点Ｐ（ｍ，２）是△ＡＢＣ内部（包括边上）的一 点，所以点Ｐ所在的直线ｌ平行于ｘ轴．当点Ｐ为直线ｌ与 直线ｙ２＝－ｘ＋３的交点时，ｍ取最大值，有－ｍ＋３＝２， 解得ｍ＝１；当点Ｐ为直线ｌ与直线ｙ１＝ｘ＋３的交点时， ｍ取最小值，有ｍ＋３＝２，解得ｍ＝－１．所以ｍ的最大 值与最小值之差为：１－（－１）＝２．故选Ｂ． 例２　如图２，一次函数ｙ ＝ｘ＋４的图象与ｘ轴、ｙ轴分 别交于点Ａ，Ｂ，点Ｃ（－２，０）是 ｘ轴上一点，点 Ｅ，Ｆ分别为直 线ｙ＝ｘ＋４和ｙ轴上的两个动 点，当△ＣＥＦ周长最小时，点Ｅ，Ｆ的坐标分别为 （　　） Ａ．Ｅ（－５２， ３ ２），Ｆ（０，２） Ｂ．Ｅ（－２，２），Ｆ（０，２） Ｃ．Ｅ（－５２， ３ ２），Ｆ（０， ２ ３）Ｄ．Ｅ（－２，２），Ｆ（０， ２ ３） 解：分别作点Ｃ关于ｙ轴的对称点Ｇ（２，０），关于直 线ｙ＝ｘ＋４的对称点Ｄ，连接ＡＤ，连接ＤＧ交ＡＢ于点Ｅ， 交ｙ轴于点Ｆ，如图２，此时△ＣＥＦ周长最小．因为一次函 数ｙ＝ｘ＋４的图象与 ｘ轴、ｙ轴分别交于点 Ａ，Ｂ，所以 Ａ（－４，０），Ｂ（０，４）．所以△ＡＯＢ是等腰直角三角形．所 以∠ＢＡＣ＝４５°．因为Ｃ，Ｄ关于ＡＢ对称，所以∠ＤＡＢ＝ ∠ＢＡＣ＝４５°．所以∠ＤＡＣ＝９０°．因为Ｃ（－２，０），所以 ＡＣ＝ＯＡ－ＯＣ＝２＝ＡＤ．所以Ｄ（－４，２）．设直线ＤＧ的 表达式为 ｙ＝ｋｘ＋ｂ．将 Ｄ（－４，２），Ｇ（２，０）代入，得 －４ｋ＋ｂ＝２， ２ｋ＋ｂ＝０{ ． 解得 ｋ＝－１３， ｂ＝ ２３ { ．所以直线ＤＧ的表达式 为ｙ＝－１３ｘ＋ ２ ３．对于ｙ＝－ １ ３ｘ＋ ２ ３，令ｘ＝０，得ｙ ＝ ２３．所以点Ｆ的坐标为（０， ２ ３）．解 ｙ＝ｘ＋４， ｙ＝－１３ｘ＋ ２ ３ { ，得 ｘ＝－５２， ｙ＝３２ { ．所以点Ｅ的坐标为（－５２，３２）．故选Ｃ． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! " # $ % ! !" #$% % ! &'!(" ! ) " # % # &!(" * % + ! # ! ," - * . / 0 ) % ! ! ! !& '() 书 一次函数及其图象是初中数学的重要内容之