第40期 4.1函数和它的表示法（答案见下期）-【数理报】2023-2024学年八年级下册数学学案（湘教版）

书 一、新定义型 例１　若对实数ａ，ｂ定 义一种新运算：ａ ｂ＝ ａ－ｂ（ａ≥２ｂ）， ａ＋ｂ－６（ａ＜２ｂ{ ）， 例 如：３１＝３－１＝２；５ ４＝５＋４－６＝３．则函数ｙ ＝（ｘ＋２）（ｘ－１）的图 象大致是 （　　） 分析：根据定义的新运算分两种情况讨论，分别求 出每种情况的函数表达式，画出图象进行判断即可． 解：当ｘ＋２≥２（ｘ－１）时，ｘ≤４． 所以当ｘ≤４时，ｙ＝（ｘ＋２）（ｘ－１）＝（ｘ＋２） －（ｘ－１）＝ｘ＋２－ｘ＋１＝３； 当ｘ＞４时，ｙ＝（ｘ＋２）（ｘ－１）＝（ｘ＋２）＋（ｘ －１）－６＝ｘ＋２＋ｘ－１－６＝２ｘ－５． 故选Ａ． 二、程序运算型 例２　根据如图１所示的程序计算函数ｙ的值．若 输入ｘ的值是２时，则输出的ｙ的值是６．若输入ｘ的值是 ３，则输出的ｙ的值是 （　　） Ａ．６　 　　Ｂ．７　　 　Ｃ．８　 　　Ｄ．９ 分析：根据已知数值和运算公式求出 ｂ的值，进而 代入求出ｘ＝３时对应的ｙ的值． 解：因为输入ｘ的值是２时，输出的ｙ的值是６， 所以６＝２×２＋ｂ． 解得ｂ＝２． 所以若输入ｘ的值是３，则输出的ｙ的值是：ｙ＝３× ３－２＝７． 故选Ｂ． 三、实际问题型 例３　东东用仪器匀速向如图２ 容器中注水，直到注满为止．用ｔ表示 注水时间，ｙ表示水面的高度，下列 图象适合表示ｙ与ｔ的对应关系的是 （　　） 分析：根据题目中的图形可知，刚开始水面上升比 较慢，紧接着水面上升较快，最后阶段水面上升最快，从 而可以解答本题． 解：因为底部的圆柱底面半径最大，所以刚开始水 面上升最慢．中间部分的圆柱底面半径较小，所以第二 阶段水面上升较快．顶部的圆柱底面半径最小，所以最 后阶段水面上升最快． 故选Ｃ． 书 对于函数ｙ＝ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）是一个含有ｘ的式子，如何 确定这个函数自变量的取值范围呢？现归纳讲解如下： 展厅一、当ｆ（ｘ）是整式时，其自变量的取值范围是 全体实数 例１　在函数ｙ＝－２ｘ＋３中，自变量ｘ的取值范围 是 ． 解：根据题意，得其自变量 ｘ的取值范围是全体实 数． 故填全体实数． 展厅二、当ｆ（ｘ）是分式时，其自变量的取值是使分 母不为零的实数 例２　在函数ｙ＝ ｘ５ｘ＋３中，自变量ｘ的取值范围是 ． 解：根据题意，得５ｘ＋３≠０．解得ｘ≠－３５． 故填ｘ≠－３５． 展厅三、当ｆ（ｘ）是二次根式时，其自变量的取值必 须使被开方数为非负数 例３　函数ｙ＝ ｘ－槡 ２中，自变量ｘ的取值范围是 （　　） Ａ．ｘ≤－２ Ｂ．ｘ≥－２ Ｃ．ｘ≤２ Ｄ．ｘ≥２ 解：根据题意，得ｘ－２≥０．解得ｘ≥２． 故选Ｄ． 展厅四、实际问题中自变量的取值要使函数表达式 和实际问题均有意义 例４　一个正方形的边长为５ｃｍ，它的边长减少 ｘｃｍ后得到的新正方形的周长为ｙｃｍ，写出ｙ与ｘ之间 的函数表达式，并指出自变量的取值范围． 解：根据题意，得周长ｙ与ｘ之间的函数表达式为ｙ ＝４（５－ｘ），即ｙ＝２０－４ｘ．其中自变量ｘ的取值需满足 正方形的边长是正数，即满足５－ｘ＞０和ｘ≥０．解得０ ≤ｘ＜５． 故自变量ｘ的取值范围为０≤ｘ＜５． 展厅五、综合情况要全面考虑，先局部后整体 例５　在函数ｙ＝ ｘ＋槡 ３ｘ 中，自变量ｘ的取值范围 是 （　　） Ａ．ｘ≥３ Ｂ．ｘ≥－３ Ｃ．ｘ≥３且ｘ≠０ Ｄ．ｘ≥－３且ｘ≠０ 解：根据题意，得 ｘ＋３≥０ 且ｘ≠０．解得ｘ≥－３且ｘ≠０． 故选Ｄ． !" ! !# " ! $%&' ! $(&' "#!!$% "#"!&% ! # " # ! " $ % ' $ " ! # ! " # ! " $ % &# ' $ " ! # ! &# # ! " $ % &# ' $ " ! # ! " ' ( # ! " $ % &# ' $ " ! # ! " ) * ! ! " # $ % ! &' ()* ! ! ( ' " ( ' " ( ' " ( ' " ' ( ) * 书 !"#$%&'()*+,-.,!" ， /01 、 20-34056!7+89:;$< ． !"#$7= >'?@ABC'(7DEF6!7GHIJ ， KLM NOPQRST ， UVWXYZ ． ! １　 [' １－①，Ｅ\](ＡＢＣＤ7^ＡＤ5+"， " Ｐ _" Ｂ `abc0 Ｂ－Ｅ－Ｄ 6!d" Ｄ ef ， " Ｑ _" Ｂ̀ ab ＢＣ 6!d" Ｃ ef ， gX76!hij % １ｃｍ／ｓ． k Ｐ，Ｑ l"Vm`a ， n6!mo\ ｘ（ｓ）， △ＢＰＱ7Lp\ｙ（ｃｍ２）．qｙrｘ7stuv['１－ ②wx，y](ＡＢＣＤ7Lp% （　　） Ａ．９６ｃｍ２ Ｂ．８４ｃｍ２ Ｃ．７２ｃｍ２ Ｄ．５６ｃｍ２ "# ： !"#$%&'()*+,-./ ． $ ： z" Ｐ 6!d"