第41期 13.1 三角形（答案见下期）-【数理报】2023-2024学年七年级下册数学学案（青岛版）

书 一、定义 从三角形的一个顶点向 它所对的边所在直线画垂 线，顶点和垂足之间的线段 叫做三角形的高． 二、特征 锐角三角形的三条高都 在三角形的内部，且交于三 角形内一点（如图 １）；直角 三角形有一条高在三角形的 内部，它是直角三角形最长 边上的高，另两条高和直角 三角形的两条直角边重合， 三条高交于直角顶点（如图 ２）；钝角三角形有一条高在 三角形的内部，它是最长边 上的高，另两条较短边上的 高在三角形的外部，三条高所在的直线交于三角形外一 点（如图３）． 三、用途 １．计数 例１　如图４，已知 ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ 是锐角 △ＡＢＣ的三条高线，交点为 Ｈ，则图中直角三角形的个数是 （　　） Ａ．６　　　　　　Ｂ．８ Ｃ．１０ Ｄ．１２ 解：因为ＡＤ，ＢＥ，ＣＦ是锐角△ＡＢＣ的三条高线，所 以∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＢ＝∠ＢＥＡ＝∠ＢＥＣ＝∠ＣＦＡ＝ ∠ＣＦＢ＝９０°．所以图中的直角三角形有：△ＡＤＢ， △ＡＤＣ，△ＢＥＡ，△ＢＥＣ，△ＣＦＡ，△ＣＦＢ，△ＨＤＢ，△ＨＤＣ， △ＨＥＣ，△ＨＥＡ，△ＨＦＡ，△ＨＦＢ，共有１２个．故选Ｄ． ２．求角度 例２　如图５，△ＡＢＣ的高 ＢＤ， ＣＥ相交于点Ｆ，若∠ＢＦＣ＝１２５°，则 ∠Ａ＝ ． 解：因为 △ＡＢＣ的高 ＢＤ，ＣＥ相 交于点 Ｆ，所以 ∠ＡＤＢ＝∠ＢＥＦ＝ ９０°．所以∠ＡＢＤ＝∠ＢＦＣ－∠ＢＥＦ ＝３５°．所以∠Ａ＝９０°－∠ＡＢＤ＝５５°．故填５５°． 书 ３９期２版 １２．３用提公因式法进行因式分解 基础训练　１．Ｃ；　２．３ｘ２ｙ２；　３．－３１； ４．（ｍ－ｙ）（ｍ＋ｘ）． ５．（１）ｍ（ｍ－３）；　（２）３ａｂ（３ｃ－２ａｂ＋４ｃ２）； （３）（ａ－３）（ａ－１）；　（４）５（ｘ２＋ｙ２）． 能力提高　６．５． １２．４用公式法进行因式分解 １２．４．１公式法（平方差公式） 基础训练　１．Ｄ；　２．Ａ；　３．Ａ； ４．（ａ＋４ｂ）（ａ－２ｂ）． ５．（１）２ａ（ｘ＋ｙ２）（ｘ－ｙ２）；　（２）（ｍ＋３）（ｍ－３）； （３）（ａ＋１）３（ａ－１）． ６．（１）Ｍ ＝３ｘ２－４ｘ－２０－３ｘ（ｘ－３）＝５ｘ－２０； Ｐ＝３ｘ２－４ｘ－２０＋（ｘ＋２）２ ＝３ｘ２－４ｘ－２０＋ｘ２ ＋４ｘ＋４＝４ｘ２－１６． （２）Ｐ＝４（ｘ２－４）＝４（ｘ＋２）（ｘ－２）． （３）－１６． １２．４．２公式法（完全平方公式） 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ；　３．７８（ｘ－１）２； ４．４ａ＋２． ５．（１）ｙ（２ｘ－ｙ）２；　（２）（ｍ＋ｎ－２）２； （３）－４（ｘ＋３）２；　（４）（３ｘ＋２ｙ）２（３ｘ－２ｙ）２． ６．ａ２＋４ａ＋４一定能被９整除．理由如下： 设ａ除以３余１的商为ｂ．则ａ＝３ｂ＋１．所以ａ２＋ ４ａ＋４＝（ａ＋２）２＝（３ｂ＋３）２＝［３（ｂ＋１）］２＝９（ｂ＋ １）２．所以ａ２＋４ａ＋４一定能被９整除． 能力提高　７．１２． ３９期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｄ Ａ Ｂ Ｃ Ｂ Ｂ Ｂ 二、９．（ｘ２＋２）２；　１０．３１．４；　１１．６，－２；　１２．５； １３．７；　１４．６． 三、１５．（１）２（ｘ－ｙ）（ａ－３ｂ）；　 （２）－２ａ（ａ－３）２； （３）－６（ｍ＋ｎ）２（ｍ－ｎ）２． １６．（１）原式 ＝ｍｎ（ｍ－３ｎ）２． 当ｍ－３ｎ＝ １２，ｍｎ＝－ ３ ８时，原式 ＝－ ３ ３２． （２）原式 ＝ｘｙ（２ｘ＋３ｙ）（２ｘ－３ｙ）． 当ｘ＝－１，ｙ＝２时，原式 ＝６４． １７．因为ａ３＋ａ２＋ａ＋１＝０， 所以１＋ａ＋ａ２＋ａ３＋… ＋ａ２０１２ ＝１＋ａ（１＋ａ＋ａ２＋ａ３）＋ａ５（１＋ａ＋ａ２＋ａ３）＋ … ＋ａ２００９（１＋ａ＋ａ２＋ａ３）＝１． １８．（１）（ｍ＋１）（ｍ－５）； （２）ａ２＋ｂ２－４ａ＋６ｂ＋１８ ＝（ａ－２）２＋（ｂ＋３）２＋５． 当ａ－２＝０，ｂ＋３＝０，即ａ＝２，ｂ＝－３时，多项 式ａ２＋ｂ２－４ａ＋６ｂ＋１８有最小值，最小值为５． （３）ａ２－２ａｂ＋２ｂ２－２ａ－４ｂ＋２７ ＝ａ２－２ａ（ｂ＋１）＋（ｂ＋１）２＋（ｂ－３）２＋１７ ＝（ａ－ｂ－１）２＋（ｂ－３）２＋１７． 当 ａ－ｂ－１＝０，ｂ－３＝０，即ａ＝４，ｂ＝３时，多项 式ａ２－２ａｂ＋２ｂ２－２ａ－４ｂ＋２７有最小值，最小值为１７． 附加题　因为ｍ＋ｎ＝ｐ＋ｑ＝４， 所以（ｍ＋ｎ）（ｐ＋ｑ）＝ｍｐ＋ｍｑ＋ｎｐ＋ｎｑ＝１６． 因为ｍｐ＋ｎｑ＝４， 所以ｍｑ＋ｎｐ＝１２． 所以（ｍ２＋ｎ２）ｐｑ＋ｍｎ（ｐ２＋ｑ２） ＝ｍ２ｐｑ＋ｎ２ｐｑ＋ｍｎｐ２＋ｍｎｑ２ ＝ｍｐ·ｍｑ＋ｎｐ·ｎｑ＋ｍｐ·ｎｐ＋ｍｑ·ｎｑ ＝ｍｐ·ｍｑ＋ｍｐ·ｎｐ＋ｎｐ·ｎｑ＋ｍｑ·ｎｑ ＝ｍｐ（ｍｑ＋ｎｐ）＋ｎｑ（ｎｐ＋ｍｑ） ＝（ｍｐ＋ｎｑ）（ｍｑ＋ｎｐ）