压轴题05数列压轴题15题型汇总-2024年高考数学压轴题专项训练（新高考通用）

压轴题05数列压轴题十五大题型汇总 命题预测 本专题考查类型主要涉及点为数列，其中包含了数列的单调性、不等式，数列与三角函数、集合、函数等的结合，也包含数列的放缩，新定义等。 预计2024年后命题会继续在上述几个方面进行。 高频考法 题型01数列不等式、单调性与最值性问题 题型02数列分奇偶问题 题型03数列新定义问题 题型04数列重新排序问题 题型05数列与三角函数结合 题型06数列中的周期性 题型07数列中插入项问题 题型08数列与放缩结合 题型09斐波那契数列问题 题型10数列与排列组合结合 题型11高斯函数问题 题型12数列与实际模型 题型13数列与集合新定义 题型14数列与函数结合 题型15数列与函数导数结合 01数列不等式、单调性与最值性问题 1.（2024·浙江宁波·二模）已知数列满足，对任意都有，且对任意都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2. （2024·全国·模拟预测）若数列，对于 ，都有（为常数）成立，则称数列具有性质．已知数列的通项公式为，且具有性质，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3. （23-24高三下·江苏泰州·阶段练习）已知数列满足，． (1)已知， ①若，求； ②若关于m的不等式的解集为M，集合M中的最小元素为8，求的取值范围； (2)若，是否存在正整数，使得，若存在，求出k的最小值，若不存在，请说明理由． 4. （多选）（2024·广东·模拟预测）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数有两个不相等的实根，其中.在函数图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列.记，且，，下列说法正确的是（    ） A．（其中） B．数列是递减数列 C． D．数列的前项和 5. （2024·陕西西安·三模）已知正项数列的前项和为，前项积为，且满足，则不等式成立的的最小值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．10 02数列分奇偶问题 6.（2024·河北石家庄·二模）已知数列满足 (1)写出; (2)证明:数列为等比数列; (3)若，求数列的前项和. 7. （2024·广东佛山·二模）已知数列满足，，且． (1)证明为等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，证明：当时，． 8. （2024·北京丰台·一模）已知数列满足则（   ） A．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立 B．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立 C．当时，存在正整数，当时， D．当时，对于任意正整数，存在，使得 9. （2024·辽宁·二模）如果数列，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知数列为数列的“接近数列”． (1)若，求的值； (2)若数列是等差数列，且公差为，求证：数列是等差数列； (3)若数列满足，且，记数列的前项和分别为，试判断是否存在正整数，使得？若存在，请求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：） 10. （多选）2024·辽宁沈阳·二模）已知数列的通项公式为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则数列单调递减 B．若对任意，都有，则 C．若，则对任意，都有 D．若的最大项与最小项之和为正数，则 03数列新定义问题 数列的新定义问题，一般根据定义得到数列满足的递推关系，再利用常见的数列通项公式求法（如公式法、累加法、待定系数法等）求得数列通项公式和前n项和，最后再通项和前n项和的基础上讨论数列的性质. 11. （2024·广东深圳·二模）无穷数列，，…，，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是﹔如果n是奇数，就对尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是． (1)写出这个数列的前7项； (2)如果且，求m，n的值； (3)记，，求一个正整数n，满足． 12. （2024·广东梅州·二模）已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，即；前项的最小值记为，即，令（），并将数列称为的“生成数列”． (1)若，求其生成数列的前项和； (2)设数列的“生成数列”为，求证：； (3)若是等差数列，证明：存在正整数，当时，，，，是等差数列． 13. （2024·浙江·模拟预测）已知实数，定义数列如下：如果，，则． (1)求和（用表示）； (2)令，证明：； (3)若，证明：对于任意正整数，存在正整数，使得． 14. （2024·安徽池州·模拟预测）定义：若对恒成立，则称数列为“上凸数列”． (1)若，判断是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由． (2)若为“上凸数列”，则当时，． （ⅰ）若数列为的前项和，证明：； （ⅱ）对