第8章 平面向量（单元提升卷）-2023-2024学年高一下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修二）

第8章 平面向量（单元提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分， 1．在中，，，为的中点，在线段上，则的最小值为 　　． 2．向量的夹角为，定义运算“”： ，若，则的值为 　　． 3．若，且与的夹角为，则　　． 4．在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①，顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②．已知正六边形的边长为1，若点是线段上的动点（包括端点），则的最小值是 　　． 5．已知和，且，，则在方向上的投影是 　　． 6．已知，且，则实数　　． 7．已知是的边上的中线，若，，则等于　 　． 8．已知直角坐标平面上两点、，若满足，则点的坐标为 　　． 9．已知向量，满足，则　　． 10．已知平面向量，，，其中，则的取值范围是 　　． 11．已知，，且，若，当且仅当　　时，取到最大值． 12．若两个平面向量与满足，且在方向上的数量投影为，则的最小值为 　　． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，13/14题每题4分，15/16题5分。 13．如图，是的重心，，，是边上一点，且，则　　 A． B． C． D． 14．矩形中，，，动点满足，，，，，则下列说法中错误的是　　 A．若，则的面积为定值 B．若，则的最小值为4 C．若，则满足的点不存在 D．若，，则的面积为 15．在中，，为线段上的动点，且，则最小值为　　 A． B． C． D． 16．若平面单位向量，，，，满足对任意的，都有，则正整数的最大值为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 3、 解答题（本大题共有5题78分，17-19题每题14分，20/21每题18分），解答下列各题必须写出必要的步骤。 17．已知向量，． （1）求实数的值，使； （2）若，求与的夹角的余弦值． 18．已知，，与的夹角为． （1）求； （2）当为何值时，？ 19．已知向量，，函数． （1）求函数的严格减区间与对称轴方程； （2）若，关于的方程恰有三个不同的实数根，，求实数的取值范围及的值． 20．如图，梯形，，，，为中点，． （1）当时，用向量表示的向量； （2）若为大于零的常数），求的最小值，并指出相应的实数的值． 21．如图，已知是边长为2的正三角形，点、、是边的四等分点． （1）求的值； （2）若为线段上一点，且，求实数的值； （3）若为线段上的动点，求的最小值，并指出当取最小值时点的位置． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章 平面向量（单元提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分， 1．在中，，，为的中点，在线段上，则的最小值为 　　． 【分析】以线段的中点为坐标原点，线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，直接利用数量积的坐标运算求最值即可． 【解答】解：如图：以线段的中点为坐标原点，线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系， 则，设，， 则， 当时，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题． 2．向量的夹角为，定义运算“”： ，若，则的值为 　　． 【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量的夹角的运算求解即可． 【解答】解：已知向量的夹角为，定义运算“”： ， 又， 则，，， 则， 又，， 则， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的夹角的运算，属基础题． 3．若，且与的夹角为，则　2　． 【分析】由向量模的公式计算即可． 【解答】解：， 故答案为：2． 【点评】本题考查平面向量数量积的运算，主要涉及向量模的公式应用，属于基础题． 4．在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①，顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②．已知正六边形的边长为1，若点是线段上的动点（包括端点），则的最小值是 　　． 【分析】建立平面直角坐标系后，用向量的坐标运算进行求解即可． 【解答】解：连接，，，交于点，如图所示，以为原点，所在直线为轴，过与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系， 正六边形的边长为1， ，，，， 是线段上的动点（包括端点）， 设， ， ，， ， ， 当且仅当时，的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了向